Calcolo del modulo della DFT
Devo calcolare il modulo della DTFT di un segnale
x(n)=${(1con0<=n<=3),(0 aLtrove):}$
In seguito devo calcolare il modulo con solo i primi 4 campioni (quelli diversi da zero) della DFT, ed in seguito calcolare la DFT sommando ai primi 4 campioni, 4 campioni di zero padding (quindi uguali a zero).
Come cavolo posso fare?
non ho minimamente idea neanche da dove iniziare
x(n)=${(1con0<=n<=3),(0 aLtrove):}$
In seguito devo calcolare il modulo con solo i primi 4 campioni (quelli diversi da zero) della DFT, ed in seguito calcolare la DFT sommando ai primi 4 campioni, 4 campioni di zero padding (quindi uguali a zero).
Come cavolo posso fare?
non ho minimamente idea neanche da dove iniziare
Risposte
scusate per la formattazione ATROCE della definizione della funzione, ma sono impedito :/
Bhe, prova a partire dalla definizione di DTFT...
Parto dalla definizione di dft e ottengo come espressione della dtft della funzione
1+$e^{-j2pif}$+$e^{-j4pif}$+$e^{-j6pif}$; a questo punto? per calcolare il modulo dovrei separare la parte reale (gli 1?) dalla parte immaginaria (??) e fare $sqrt(Re^2+Im^2)$
1+$e^{-j2pif}$+$e^{-j4pif}$+$e^{-j6pif}$; a questo punto? per calcolare il modulo dovrei separare la parte reale (gli 1?) dalla parte immaginaria (??) e fare $sqrt(Re^2+Im^2)$
Sì, certo.. Il modulo lo devi calcolare esattamente in quel modo.
ok, ma mi manca il passaggio dall'espressione della DTFT, per arrivare al calcolo del modulo.. scusa la mia ignoranza
ho provato a farlo con la calcolatrice e mi dice che il modulo è uguale a 4... confused :/
... la domanda è: devo considerare ogni esponenziale come numero a se nel calcolo del modulo, oppure devo calcolare il modulo di tutta la serie?
... la domanda è: devo considerare ogni esponenziale come numero a se nel calcolo del modulo, oppure devo calcolare il modulo di tutta la serie?
se sviluppo gli esponenziali in serie di seni e coseni ottengo:
1+cos(w)+cos(2w)+cos(3w)+i(-sen(w)-sen(2w)-sen(3w)) ...ed a questo punto?? uff .. qualcuno mi aiuta per favore?
1+cos(w)+cos(2w)+cos(3w)+i(-sen(w)-sen(2w)-sen(3w)) ...ed a questo punto?? uff .. qualcuno mi aiuta per favore?
Prima di tutto ti trovi davanti ad una funzione, per cui difficilmente il risultato sarà un singolo numero (o comunque sarà almeno una funzione costante). Prova a scrivere quegli esponenziali come numeri complessi con parte reale ed immaginaria esplicitati e poi calcolarne il modulo (mettendo al quadrato le varie parti). Alternativamente, dato \( X(f) = 1 + \exp(- j 2 \pi f) + exp(- j 4 \pi f) + exp(- j 6 \pi f), \;\; \) puoi calcolarti
\[ |X(f)|^2 = X(f)\overline{X(f)} = (1 + e^{- j 2 \pi f} + e^{- j 4 \pi f} + e^{- j 6 \pi f})(1 + e^{j 2 \pi f} + e^{j 4 \pi f} + e^{j 6 \pi f}). \]
Il Risultato dovrebbe essere
\[ |X(f)|^2 = 4 + 3\,(e^{- j 2 \pi f} + e^{j 2 \pi f}) + 2\,(e^{- j 4 \pi f} + e^{j 4 \pi f}) + (e^{- j 6 \pi f} + e^{j 6 \pi f}), \]
cioè, osservando che \( \exp(- j 2 \pi n f) + \exp(j 2 \pi n f) = 2\,\cos(2 \pi n f), \)
\[ |X(f)| = \sqrt{4 + 6\,\cos(2 \pi f) + 4\,\cos(4 \pi f) + 2\,\cos(6 \pi f)} \; . \]
Ho fatto i conti un po' di fretta, ma spero che siano corretti. Usando l'altro metodo si dovrebbero ottenere risultati simili. La trasformata non dovrebbe poi cambiare aggiungendo i campioni aggiuntivi uguali a zero.
EDIT: Ho provato a confrontare il mio risultato con quello numerico restituito da Octave (Matlab) e sembrano coincidere (fino a più di 8 cifre decimali). Credo la formula sia quindi corretta.
\[ |X(f)|^2 = X(f)\overline{X(f)} = (1 + e^{- j 2 \pi f} + e^{- j 4 \pi f} + e^{- j 6 \pi f})(1 + e^{j 2 \pi f} + e^{j 4 \pi f} + e^{j 6 \pi f}). \]
Il Risultato dovrebbe essere
\[ |X(f)|^2 = 4 + 3\,(e^{- j 2 \pi f} + e^{j 2 \pi f}) + 2\,(e^{- j 4 \pi f} + e^{j 4 \pi f}) + (e^{- j 6 \pi f} + e^{j 6 \pi f}), \]
cioè, osservando che \( \exp(- j 2 \pi n f) + \exp(j 2 \pi n f) = 2\,\cos(2 \pi n f), \)
\[ |X(f)| = \sqrt{4 + 6\,\cos(2 \pi f) + 4\,\cos(4 \pi f) + 2\,\cos(6 \pi f)} \; . \]
Ho fatto i conti un po' di fretta, ma spero che siano corretti. Usando l'altro metodo si dovrebbero ottenere risultati simili. La trasformata non dovrebbe poi cambiare aggiungendo i campioni aggiuntivi uguali a zero.
EDIT: Ho provato a confrontare il mio risultato con quello numerico restituito da Octave (Matlab) e sembrano coincidere (fino a più di 8 cifre decimali). Credo la formula sia quindi corretta.
provo a fare tutto il procedimento ed a capire cosa succede, intanto ti ringrazio!..il mio problema è che devo fare un esame di segnali biomedici con una parte di trattazione sull'analisi di Fourier, ma per un problema di invalidità non posso seguire i corsi, e non conosco nessuno che mi possa passare gli appunti. Finchè sono le lezioni posso studiarle facilmente, ma le esercitazioni che spesso propongono esercizi non spiegati, mi creano problemi. Questo purtroppo è l'ultimo esame che mi manca e mi sta mettendo in difficoltà seria
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