Autovettore principale
Buongiorno a tutti, avrei bisogno di una mano con il pagerank.Premetto che sono uno studente uni lavoratore, purtroppo non posso seguire le lez..Secondo le slide del prof., se non ho compreso male, bisogna iterare l'algoritmo del rilassamento relaxation partendo da un vettore a caso, quindi moltiplicare la matrice per il vettore con valori a caso la cui somma sia =1, (es M*[1/3,1/3,1/3]). Su matrici stocastiche, ove la somma degli stati di prob(colonna) è =uno, il processo di ril converge con l'autovettore principale della matrice.
Come calcolo l'autovettore principale? Calcolo gli autovalori Formula di Sarrus e poi gli autovettori?
Una volta calcolati gli autovettori, come capisco qual'è il principale?
Per l'eser di pagerank all'esame non credo che si possa iterare con valori a caso. Avrei bisogno di una giornata come minimo
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto
Come calcolo l'autovettore principale? Calcolo gli autovalori Formula di Sarrus e poi gli autovettori?
Una volta calcolati gli autovettori, come capisco qual'è il principale?
Per l'eser di pagerank all'esame non credo che si possa iterare con valori a caso. Avrei bisogno di una giornata come minimo
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto
Risposte
La cosa migliore penso sia quella di contattare il tuo professore e chiederli spiegazioni.
Grazie vict già fatto , purtroppo non ho ricevuto alcuna risposta
Non ho capito bene cosa chiedi, ma mi sembra vagamente simile al metodo delle potenze per il calcolo di autovalore ed autovettore maggiori di una matrice. Prova a cercare qualcosa su questo metodo e vedi se è quello che ti serve.
Nella slide fornita come materiale didattico del corso universitario, che ha come esempio yahoo amazon micros, tratto da Database Systems - The Complete Book (2nd Edition), dopo aver calcolato dal grafo gli stati di transizione di prob,ottengo una matrice quadrata, trattandosi di matrice stocastica quindi con somma P colonna = 1, irriducibile viene suggerito di iterare il prodotto della matrice. Si moltiplica per un vettore in origine causale? Si applica la relaxation rilassamento. Viene effettuato il prodotto M*1/3 1/3 1/3. Alla prima iteraz si ottiene 2/6 3/6 1/6 per n iter si ottiene 2/5 2/5 1/5. Quante volte è necessario iterare? E' corretto iniziare da un valore causale? Bisogna applicare il metodo della relaxation fino a convergere all'autovettore principale della matrice? All'esame non posso iterare infinite volte!
Calcolo sulla matrice gli autovalori e gli autovettori applicando la Formula di Sarrus? Come ottengo l'autovettore principale?
Grazie anticipatamente
Calcolo sulla matrice gli autovalori e gli autovettori applicando la Formula di Sarrus? Come ottengo l'autovettore principale?
Grazie anticipatamente
Innanzitutto, lasciami dire che, se l'italiano è la tua prima lingua, con poco sforzo puoi rendere il testo MOLTO più leggibile. E poi, potresti usare le formule.
Detto ciò, distinguiamo tra le due situazioni di cui parli.
Il fatto di applicare la stessa matrice tante volte allo stesso vettore è l'applicazione del sopracitato metodo delle potenze, che si basa sul seguente principio: se una matrice \(A\) è diagonalizzabile, i suoi autovettori \(v_i\) formano una base di \(\mathbb R^n\). Allora per ogni vettore \(x = (x_1, \dots, x_n)\) esistono dei valori \(a_1,\dots a_n\) tali che \(x = \sum a_i v_i\). Ma allora, pensando gli autovalori \(\lambda_i\) ordinati dal più grande al più piccolo,
\[
Ax = A \left( \sum_{i = 1}^n a_i v_i \right) = \sum a_i A v_i = \sum a_i \lambda_i v_i = a_1 \lambda_1 \left( v_1 + \sum_{i=2}^n \frac{a_i}{a_1} \frac{\lambda_i}{\lambda_1} v_i \right)
\]
e, iterando,
\[
A^k x = a_1 \lambda_1^k \left( v_1 + \sum_{i=2}^n \frac{a_i}{a_1} \left( \frac{\lambda_i}{\lambda_1} \right)^k v_i \right).
\]
Adesso vedi che passando al limite su \(k\) va tutto a zero tranne la componente nella direzione dell'autovettore \(v_1\), che è quello di modulo massimo che stai cercando.
Questo metodo è utile quando il calcolo esplicito è impossibile o improponibile, quindi per matrici molto grandi.
È un metodo iterativo e, come tale, convergerebbe in un numero infinito di passi. Si può tuttavia arrestare le iterazioni quando il vettore risultato normalizzato "cambia di poco" applicando ancora la matrice.
Per quanto riguarda il tuo esame, se devi calcolare l'autovalore di una matrice \(3 \times 3\) con un metodo a scelta, è un altro discorso, e sei libero di fare come preferisci.
Detto ciò, distinguiamo tra le due situazioni di cui parli.
Il fatto di applicare la stessa matrice tante volte allo stesso vettore è l'applicazione del sopracitato metodo delle potenze, che si basa sul seguente principio: se una matrice \(A\) è diagonalizzabile, i suoi autovettori \(v_i\) formano una base di \(\mathbb R^n\). Allora per ogni vettore \(x = (x_1, \dots, x_n)\) esistono dei valori \(a_1,\dots a_n\) tali che \(x = \sum a_i v_i\). Ma allora, pensando gli autovalori \(\lambda_i\) ordinati dal più grande al più piccolo,
\[
Ax = A \left( \sum_{i = 1}^n a_i v_i \right) = \sum a_i A v_i = \sum a_i \lambda_i v_i = a_1 \lambda_1 \left( v_1 + \sum_{i=2}^n \frac{a_i}{a_1} \frac{\lambda_i}{\lambda_1} v_i \right)
\]
e, iterando,
\[
A^k x = a_1 \lambda_1^k \left( v_1 + \sum_{i=2}^n \frac{a_i}{a_1} \left( \frac{\lambda_i}{\lambda_1} \right)^k v_i \right).
\]
Adesso vedi che passando al limite su \(k\) va tutto a zero tranne la componente nella direzione dell'autovettore \(v_1\), che è quello di modulo massimo che stai cercando.
Questo metodo è utile quando il calcolo esplicito è impossibile o improponibile, quindi per matrici molto grandi.
È un metodo iterativo e, come tale, convergerebbe in un numero infinito di passi. Si può tuttavia arrestare le iterazioni quando il vettore risultato normalizzato "cambia di poco" applicando ancora la matrice.
Per quanto riguarda il tuo esame, se devi calcolare l'autovalore di una matrice \(3 \times 3\) con un metodo a scelta, è un altro discorso, e sei libero di fare come preferisci.
Grazie, per il suggerimento. La mia lingua è l'italiano, probabilmente devo chiedere suggerimenti anche per l'italiano
De nada 
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