Autovalori della matrice di Vandermonde
Qualcuno saprebbe dirmi se esiste una descrizione "semplice" degli autovalori dell matrice di Vandermonde?
(Ricordo che, dati $x_1$,...,$x_n$$\in\mathbb{C}$, essa è per definizione la matrice $n \times n$ di elemento generico $v_{i,j}=x_i ^{j-1})
E per gli autovalori della matrice di Fourier?
(Essa è una matrice di Vandermonde $n\times n$ t.c. $x_i=\zeta_n ^{i-1}$ dove $\zeta_n$ è una radice primitiva n-esima dell'unità)
(Ricordo che, dati $x_1$,...,$x_n$$\in\mathbb{C}$, essa è per definizione la matrice $n \times n$ di elemento generico $v_{i,j}=x_i ^{j-1})
E per gli autovalori della matrice di Fourier?
(Essa è una matrice di Vandermonde $n\times n$ t.c. $x_i=\zeta_n ^{i-1}$ dove $\zeta_n$ è una radice primitiva n-esima dell'unità)
Risposte
Per la matrice di Vandermonde non so.
Ma per la matrice di Fourier sì!
Dato $n \in NN^+$ sia $V \in M_n (CC)$ la matrice di Fourier e sia $A \in M_n(CC)$ la matrice così definita:
$a_{ij} = 1$ se $i-j equiv 1 (mod n)$
$a_{ij}=0$ altrimenti.
Si provano i seguenti fatti:
a) $V^2 = nE$
b) $E^2 = I_n$
e allora segue immediatamente che $V^4 = n^2 I_n$ e ciò prova che gli autovalori di $V$ possono essere soltanto le radici quarte di $n^2$ ovvero $\{ pm sqrt(n) , pm sqrt(n) i \}$.
Ma per la matrice di Fourier sì!
Dato $n \in NN^+$ sia $V \in M_n (CC)$ la matrice di Fourier e sia $A \in M_n(CC)$ la matrice così definita:
$a_{ij} = 1$ se $i-j equiv 1 (mod n)$
$a_{ij}=0$ altrimenti.
Si provano i seguenti fatti:
a) $V^2 = nE$
b) $E^2 = I_n$
e allora segue immediatamente che $V^4 = n^2 I_n$ e ciò prova che gli autovalori di $V$ possono essere soltanto le radici quarte di $n^2$ ovvero $\{ pm sqrt(n) , pm sqrt(n) i \}$.
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