Autovalore di modulo massimo matrice di Gauss-Seidel
Ciao, amici! Posto in questa sezione perché si tratta di un problema relativo alla matrice usata nel metodo di Gauss-Seidel usato in algebra lineare numerica... mi scuso se avessi sbagliato sezione...
Data una matrice tridiagonale \(A=\text{tridiag}(-1,2,-1)=L+D+U\) dove la matrice $L+D$ è la parte triangolare inferiore (2 sulla diagonale principale e -1 sulla diagonale "appena sotto", il resto tutti 0; $D$ è appunto la matrice diagonale che ha la diagonale principale uguale a quella di $A$) e $U$ la parte triangolare superiore stretta (-1 sopra la diagonale e tutto il resto 0)*, lo Strang, in Algebra lineare, dice che \(-(L+D)^{-1} U\) ha l'autovalore di valore assoluto massimo \(|\lambda|_{\max}=\cos^2 \frac{\pi}{n+1}\) dove $n$ è l'ordine di $A$, ma non lo dimostra.
Qualcuno ha idea, o link a siti che ne parlino, di come si possa dimostrare questo fatto?
Lo Strang, a p. 384, fornisce un esercizio grazie al quale si dimostra facilmente che la matrice \(-D^{-1}(L+U)\) (usata nel metodo di Jacobi) ha l'autovalore di valore assoluto massimo \(|\lambda|_{\max}=\cos \frac{\pi}{n+1}\) e mi chiedevo se il caso di \(-(L+D)^{-1} U\) si potesse derivare da quello o in un modo analogo...
\(+\infty\) grazie e felice 2013 a tutti!!!
*$L+D$ è uguale a \(L_{\ast}\) e $U$ è uguale a $U$ qua.
Data una matrice tridiagonale \(A=\text{tridiag}(-1,2,-1)=L+D+U\) dove la matrice $L+D$ è la parte triangolare inferiore (2 sulla diagonale principale e -1 sulla diagonale "appena sotto", il resto tutti 0; $D$ è appunto la matrice diagonale che ha la diagonale principale uguale a quella di $A$) e $U$ la parte triangolare superiore stretta (-1 sopra la diagonale e tutto il resto 0)*, lo Strang, in Algebra lineare, dice che \(-(L+D)^{-1} U\) ha l'autovalore di valore assoluto massimo \(|\lambda|_{\max}=\cos^2 \frac{\pi}{n+1}\) dove $n$ è l'ordine di $A$, ma non lo dimostra.
Qualcuno ha idea, o link a siti che ne parlino, di come si possa dimostrare questo fatto?
Lo Strang, a p. 384, fornisce un esercizio grazie al quale si dimostra facilmente che la matrice \(-D^{-1}(L+U)\) (usata nel metodo di Jacobi) ha l'autovalore di valore assoluto massimo \(|\lambda|_{\max}=\cos \frac{\pi}{n+1}\) e mi chiedevo se il caso di \(-(L+D)^{-1} U\) si potesse derivare da quello o in un modo analogo...
\(+\infty\) grazie e felice 2013 a tutti!!!
*$L+D$ è uguale a \(L_{\ast}\) e $U$ è uguale a $U$ qua.
Risposte
Dagli hints dell'esercizio in fondo a questo documento, di cui è autore proprio lo Strang, si dimostra in maniera praticamente immediata quanto cercavo di dimostrare a me stesso.
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