Approssimazione Chebishev
Siano $f$ una funzione continua in $[−1, 1]$ e $ϕ_3(x) = \sum_{k=0}^3 c_kT_k(x)$ il polinomio di
grado 3 che approssima f in [−1, 1] nel senso dei minimi quadrati continui con funzione peso $w(x)=1/\sqrt(1-x^2)$,
dove $T_k$ è il polinomio di Chebyshev di I specie di grado k.
Determinare i coefficienti dello sviluppo in serie $c_k$.
Esprimere successivamente i suddetti coefficienti in funzione dei momenti di ordine r.
Per quanto riguarda il primo quesito basta notare che il generico coefficiente ck è dato da $c_k={\int_{-1}^1w(x)\phi_3(x)T_r(x)dx} /{\int_{-1}^1T_r^2dx} $, tuttavia non capisco come utilizzare tale formula perché se all'interno dell'integrale al numeratore sostitussi l'espressione di $\phi$, comparirebbe il $c_k$ che però è proprio quello che devo calcolare! $c_k={\int_{-1}^1w(x) \sum_{k=0}^3 c_kT_k(x)T_r(x)dx} /{\int_{-1}^1T_r^2dx} $
Per il secondo quesito avrei bisogno di un input perché non mi viene in mente nulla in merito!
Grazie!
grado 3 che approssima f in [−1, 1] nel senso dei minimi quadrati continui con funzione peso $w(x)=1/\sqrt(1-x^2)$,
dove $T_k$ è il polinomio di Chebyshev di I specie di grado k.
Determinare i coefficienti dello sviluppo in serie $c_k$.
Esprimere successivamente i suddetti coefficienti in funzione dei momenti di ordine r.
Per quanto riguarda il primo quesito basta notare che il generico coefficiente ck è dato da $c_k={\int_{-1}^1w(x)\phi_3(x)T_r(x)dx} /{\int_{-1}^1T_r^2dx} $, tuttavia non capisco come utilizzare tale formula perché se all'interno dell'integrale al numeratore sostitussi l'espressione di $\phi$, comparirebbe il $c_k$ che però è proprio quello che devo calcolare! $c_k={\int_{-1}^1w(x) \sum_{k=0}^3 c_kT_k(x)T_r(x)dx} /{\int_{-1}^1T_r^2dx} $
Per il secondo quesito avrei bisogno di un input perché non mi viene in mente nulla in merito!
Grazie!
Risposte
Ho studiato questi argomenti molto tempo fa, ma usando le mie conoscenze di algebra lineare e analisi matematica direi che stai usando le formule sbagliate. Stai cercando di "proiettare" \(\displaystyle f \) nel sottospazio vettoriale generato dai vettori ortogonali \(\{ T_0, T_1, T_2, T_3 \}\). Similmente al caso finito dimensionale, hai che la proiezione \(\displaystyle \phi_3 \) è pari a \(\displaystyle \sum_{k=0}^3 \frac{\langle f, T_k\rangle}{ \lVert T_k\rVert^2 } T_k\). Pertanto hai che \(\displaystyle c_k = \frac{\langle f, T_k\rangle}{ \lVert T_k\rVert^2 } \), che nel caso di una funzione peso dovrebbe essere \(\displaystyle \frac{\int_{-1}^1w(x)f(x)T_k(x)\,dx}{\int_{-1}^1w(x)T^2_r(x)\,dx} \).
Detto questo, \(\displaystyle \int_{-1}^1w(x)\bigl(\sum_{k=0}^3 c_kT_k\bigr)T_r(x)\,dx = \sum_{k=0}^3 c_k \int_{-1}^1w(x)T_kT_r(x)\,dx = c_k \int_{-1}^1w(x)T_rT_r(x)\,dx\) per via del fatto che i vari polinomi sono ortogonali tra di loro. Quindi stavi solo ponendo \(c_k\) uguale a se stesso.
Detto questo, \(\displaystyle \int_{-1}^1w(x)\bigl(\sum_{k=0}^3 c_kT_k\bigr)T_r(x)\,dx = \sum_{k=0}^3 c_k \int_{-1}^1w(x)T_kT_r(x)\,dx = c_k \int_{-1}^1w(x)T_rT_r(x)\,dx\) per via del fatto che i vari polinomi sono ortogonali tra di loro. Quindi stavi solo ponendo \(c_k\) uguale a se stesso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo