Analisi numerica - Problema di Cauchy con metodo di Newton
Vi riporto il seguente esercizio:
Scrivere la formula del metodo di Eulero all'indietro per la risoluzione del problema di Cauchy:
$ { ( y'(t)=f(t,y(t)); tin[0,T] ),( y(0)=y0 ):} $
Discutere nei dettagli la sua implementazione pratica mediante l'applicazione di una iterazione del metodo di Newton ad ogni passo temporale.
Questo è quello che so:
Il metodo di Eulero all'indietro è : $ u(tn+1)=u(tn)+hf(tn+1) $
Dove $ u(tn) $ è il valore che approssima $ y $ al tempo $ tn $ , ed $ h $ è il passo di discretizzazione scelto, e definito come: $ h=(T-t0)/N $ con $ N $ numero dei sottointervalli in cui si divide l'intervallo $ I=[t0;T] $.
Essendo il metodo di Eulero all'indietro un metodo implicito esso è più stabile, ma se la funzione $ f(t,y(t)) $ è non lineare, ad ogni passo del metodo numerico è richiesta la risoluzione di un sistema non lineare per trovare la soluzione. Questo comporta un maggior costo computazionale.
Il metodo di Newton dovrebbe entrare in gioco proprio nel caso in cui la funzione sia non lineare, e deve essere applicato per risolvere il sistema non lineare che ne risulta.
Il metodo di Newton è: $ x(k+1)=x(k)-(f(x(k))/(f'(x(k)))) $
Ora quello che mi sfugge è proprio come applicare il metodo di Newton in un problema del genere.
Spero che qualcuno di voi possa aiutarmi
Scrivere la formula del metodo di Eulero all'indietro per la risoluzione del problema di Cauchy:
$ { ( y'(t)=f(t,y(t)); tin[0,T] ),( y(0)=y0 ):} $
Discutere nei dettagli la sua implementazione pratica mediante l'applicazione di una iterazione del metodo di Newton ad ogni passo temporale.
Questo è quello che so:
Il metodo di Eulero all'indietro è : $ u(tn+1)=u(tn)+hf(tn+1) $
Dove $ u(tn) $ è il valore che approssima $ y $ al tempo $ tn $ , ed $ h $ è il passo di discretizzazione scelto, e definito come: $ h=(T-t0)/N $ con $ N $ numero dei sottointervalli in cui si divide l'intervallo $ I=[t0;T] $.
Essendo il metodo di Eulero all'indietro un metodo implicito esso è più stabile, ma se la funzione $ f(t,y(t)) $ è non lineare, ad ogni passo del metodo numerico è richiesta la risoluzione di un sistema non lineare per trovare la soluzione. Questo comporta un maggior costo computazionale.
Il metodo di Newton dovrebbe entrare in gioco proprio nel caso in cui la funzione sia non lineare, e deve essere applicato per risolvere il sistema non lineare che ne risulta.
Il metodo di Newton è: $ x(k+1)=x(k)-(f(x(k))/(f'(x(k)))) $
Ora quello che mi sfugge è proprio come applicare il metodo di Newton in un problema del genere.
Spero che qualcuno di voi possa aiutarmi
Risposte
non capisco bene la domanda, il metodo di eulero è equivalente a quello delle differenze finite, quindi trasformiamo l' eq differenziale con una algebrica per ogni step e qui entra in gioco il metodo di Newton
Eh in realtà non la capisco bene neanche io però è un esercizio di esame. Il mio problema è soprattutto nello scrivere in simboli il metodo di newton applicato a questo probema specifico.
però è un esercizio di esame. Il mio problema è soprattutto nello scrivere in simboli il metodo di newton applicato a questo probema specifico.
Non vedo dove sia la difficoltà nella domanda: hai correttamente scritto il metodo di Eulero all'indietro e di Newton, non basta mettere insieme le cose adesso?
[xdom="Raptorista"]Nel frattempo sposto in Analisi Numerica, dove questo post deve stare.[/xdom]
[xdom="Raptorista"]Nel frattempo sposto in Analisi Numerica, dove questo post deve stare.[/xdom]
Chiedo scusa se ho sbagliato sezione non avevo notato che ce ne era una dedicata, sono abbastanza nuovo nel forum.
Vi faccio un esempio:
Se avessi questo problema di Cauchy:
$ { ( y'(t)=y ),( y(0)=1 ):} $
Al passo $ t=1 $ avrei con il metodo di Eulero indietro:
$ { ( u(1)=u(0)+h(f(1))),( u(0)=1 ):} $
$ f(1) $ lo devo valutare con Newton giusto?
Ecco qui è il mio problema. Non so come farlo
Vi faccio un esempio:
Se avessi questo problema di Cauchy:
$ { ( y'(t)=y ),( y(0)=1 ):} $
Al passo $ t=1 $ avrei con il metodo di Eulero indietro:
$ { ( u(1)=u(0)+h(f(1))),( u(0)=1 ):} $
$ f(1) $ lo devo valutare con Newton giusto?
Ecco qui è il mio problema. Non so come farlo
In quel caso \(f(t,y(t)) = y\), quindi \(f(1) = u^1 ( = u(1))\).
P.s. ci sono molti abusi di notazione in questa discussione, vedi di sistemare un po' le cose!
P.s. ci sono molti abusi di notazione in questa discussione, vedi di sistemare un po' le cose!
Ok. In questo caso la funzione è lineare e quindi posso ricavare direttamente $ u^(1) $ da:
$ u^(1)=(u^0)/(1-h) $
Se invece la funzione non fosse lineare per esempio:
$ { ( y'(t)=ln(y) ),( y(0)=3 ):} $
La soluzione del sistema numerico al tempo $ t=1 $ sarebbe:
$ u^1=u^0+hln(u^1) $ e in questo caso devo usare Newton per risolverla.
Il metodo di Newton è: $ x^(k+1)=x^(k)-f(x^(k))/(f'(x^k)) $ .
Quindi in questo problema avrò:
$ u^1=u^0-((ln(u^0))/(1/u^(0))) $ è corretto?
$ u^(1)=(u^0)/(1-h) $
Se invece la funzione non fosse lineare per esempio:
$ { ( y'(t)=ln(y) ),( y(0)=3 ):} $
La soluzione del sistema numerico al tempo $ t=1 $ sarebbe:
$ u^1=u^0+hln(u^1) $ e in questo caso devo usare Newton per risolverla.
Il metodo di Newton è: $ x^(k+1)=x^(k)-f(x^(k))/(f'(x^k)) $ .
Quindi in questo problema avrò:
$ u^1=u^0-((ln(u^0))/(1/u^(0))) $ è corretto?
No, attenzione!
La \(f\) del problema di Cauchy non è la stessa \(f\) del metodo di Newton!
Se la tua equazione è \(u^1 = u^0 + h \ln(u^1)\) allora il metodo di Newton va applicato all'equazione \(F(u^1) = 0\), dove hai definito
\[
F(u^1) = u^1 - u^0 - h \ln(u^1).
\]
In questo contesto avrai quindi una successione di soluzioni approssimate \(u^1_k\), ed è questa successione che viene prodotta dal metodo di Newton.
La \(f\) del problema di Cauchy non è la stessa \(f\) del metodo di Newton!
Se la tua equazione è \(u^1 = u^0 + h \ln(u^1)\) allora il metodo di Newton va applicato all'equazione \(F(u^1) = 0\), dove hai definito
\[
F(u^1) = u^1 - u^0 - h \ln(u^1).
\]
In questo contesto avrai quindi una successione di soluzioni approssimate \(u^1_k\), ed è questa successione che viene prodotta dal metodo di Newton.
Ah ok è proprio questo passaggio che mi sfuggiva. Quindi vediamo se ho capito:
In questo caso avrei alla prima iterata del metodo di Newton:
$ u_(1)^(1)=u_(0)^(1)-((u_(0)^(1)-u_(0)^(0)-hu_(0)^(1))/(1-h(1/u_(0)^(1)))) $ ?
In questo caso avrei alla prima iterata del metodo di Newton:
$ u_(1)^(1)=u_(0)^(1)-((u_(0)^(1)-u_(0)^(0)-hu_(0)^(1))/(1-h(1/u_(0)^(1)))) $ ?
Il logaritmo sciopera? \(u^0\) non ha pedici perché è un valore fisso.
Ok ho capito grazie
Prego!
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