Analisi degli intervalli

[canemacchina]

Salve a tutti, spero la sezione sia giusta. Chi mi aiuta un secondo a capire questa cosa?

Il problema è questo: ho una funzione di cui devo trovare le radici, della quale analiticamente non è detto che si possa trovare facilmente la soluzione. Per cui quello che faccio è approssimarla numericamente.
Ora, quello a cui vorrei arrivare è poter usare un metodo di newton.
Sperando che spiegazioni ulteriori non servano (per non allungare troppo il post, casomai chiedete), quello a cui sono giunto è che il metodo migliore per far questo sia utilizzando l'aritmetica degli intervalli. Su una dispensa leggo questo (cito):

Using these concepts [quelli sull'analisi degli intervalli], a simple recursive algorithm can be described for isolating the roots of a function of one variable. We start with a rational function r and an initial interval [a, b].

Step 1. Evaluate r([a, b]). If the resulting interval value does not contain zero, then there cannot be a root in [a, b], and we are finished with this interval.

Step 2. Evaluate the derivative r′([a, b]). If the resulting interval value does not contain zero, then the function must be monotonic in the interval. If the function is monotonic and r(a) r(b) ≤ 0, then there is a root in the interval which can be refined by some standard method.

Step 3. If r([a,b]) and r′([a,b]) both contain zero, then subdivide the interval at its midpoint and recursively process [a, (a + b)/2] and [(a + b)/2, b].

Step 4. The process of subdivision should be stopped when the width of an interval approaches the machine accu- racy. For example, if the midpoint tests equal to either endpoint on the machine or if the width of the interval is less than some minimum allowed value.

Ora, letto così pare semplice da capire.
Il mio problema è: cosa significa

Step 2. Evaluate the derivative r′([a, b]).

Significa semplicemente calcolare la derivata nei due estremi??? E questo mi basta per capire se la funzione sia monotona in quell'intervallo??? Mi pare un po' strano...

Grazie in anticipo.

[salvozungri]

No, ti dice di valutare l' immagine di $r'$ dell'intervallo $[a, b]$. Se $r'$ è continua in tale intervallo e non si annulla, cioè $0\notin r'([a,b])$, allora $r'$ è sempre positiva o sempre negativa, e di conseguenza la funzione $r$ è monotona in $[a, b]$. Spero di essere stato chiaro

[dissonance]

Comunque sposto nella sezione di Analisi numerica.

[canemacchina]

"Mathematico":No, ti dice di valutare l' immagine di $r'$ dell'intervallo $[a, b]$. Se $r'$ è continua in tale intervallo e non si annulla, cioè $0\notin r'([a,b])$, allora $r'$ è sempre positiva o sempre negativa, e di conseguenza la funzione $r$ è monotona in $[a, b]$. Spero di essere stato chiaro

Quindi in soldoni, (considerando la mia $r'$ continua in $[a,b]$), dovrei calcolare $r'(a),\;r'(b)$ e poi concludere che se $r'(a)r'(b)>0$ allora la derivata non si annulla mai in $[a,b]$ (quindi $r$ monotona), viceversa se $r'(a)r'(b)<=0$ allora la derivata si annulla nell'intervallo e $r$ non è monotona..

corretto?