Zeta trasformata

[art_art_uro]

risolvere il seguente problema ai valori iniziali per un equazione riccorente

Yn+2 + 2 Yn+1 + 3 Yn ={ An}

Y0=Y1=0

An di periodo 3 con A0 =1, A1 =2 A2=3

applicando il teorema sulla trasformata Zu di una successione Periodica ottengo

Z[An]= ( z^3 + 2 Z^2 + 3z ) / (z^3-1)

e successivamente andando a z trasformare il 1 membro ed uguagliando ottengo la seguente uguaglianza

Y= z / ( z^3 - 1 )

ora mi chiedo se applico lo stesso teorema per la trasformazione di {An} ottengo subito antitrasformando

Bn di periodo 3 con b0 =0, b1 = 0 , b2 = 1

e quindi il problema è risolto?
se invece procedo con la z anti-trasformazione di Y ottengo una forma trigonometrica... ma essa sarà equivalente alla prima?
nel senso posso procedere e facendo laboriosi calcoli andare a scrivere:

Y = z/(z^3 - 1) = 1/3 [ - z( z + 2) / (z^2 + z + 1) + z/ (z - 1)]

quindi andando ad eseguire l'anti-trasformata otterrò la stessa successione periodica?

[_luca.barletta]

"art_art_uro":risolvere il seguente problema ai valori iniziali per un equazione riccorente



$Y_(n+2) + 2 Y_(n+1) + 3 Y_n = A_n$

$Y0=Y1=0 $

$A_n$ di periodo 3 con $A0 =1, A1 =2, A2=3 $


applicando il teorema sulla trasformata Zu di una successione Periodica ottengo

$Z[A_n]= ( z^3 + 2 z^2 + 3z ) / (z^3-1) $

e successivamente

andando a z trasformare il 1 membro ed uguagliando ottengo la seguente uguaglianza


$Y= z / ( z^3 - 1 ) $

ora mi chiedo se applico lo stesso teorema per la trasformazione di ${A_n} $

ottengo subito antitrasformando

$B_n$ di periodo 3

con $b0 =0, b1 = 0 , b2 = 1 $

e quindi il problema è risolto?


se invece procedo con la z anti-trasformazione di Y

ottengo una forma trigonometrica... ma essa sarà equivalente alla prima?

nel senso posso procedere e facendo laboriosi calcoli andare a scrivere:

$Y = z/(z^3 - 1) = 1/3 [ - z( z + 2) / (z^2 + z + 1) + z/ (z - 1)] $

quindi andando ad eseguire l'anti-trasformata otterrò la stessa successione periodica?

Ti invito a scrivere le formule con la sintassi di MathML.

Il procedimento che hai seguito è corretto:

$Y(z)[z^(2)+2z^(1)+3]=A(z)$
$Y(z)=(A(z))/(z^(2)+2z^(1)+3)$

$A(z)=sum_(k=0)^infty (z^(-3k)+2z^(-3k-1)+3z^(-3k-2))=(1+2z^(-1)+3z^(-2))/(1-z^(-3))=z(z^2+2z+3)/(z^3-1)$
$Y(z)=z/(z^3-1)=z^(-2)/(1-z^(-3)) rarr {y_n}={0,0,1,0,0,1,0,0,1,...}$.

[gugo82]

[mod="Gugo82"]Oltre ad usare MathML (trovi le istruzioni qui), potresti scrivere con meno righe vuote?
In questo modo i tuoi messaggi non sembreranno noiosi poemi epici e gli utenti saranno più invogliati a risponderti.

(Mi sono permesso di tagliare qualche riga vuota dal tuo messaggio e non mi sembra che la sua leggibilità sia pregiudicata.)[/mod]

[art_art_uro]

provo con la giusta sintassi scusatemi!
ritornando al mio problema mi chiedevo
se applico il teorema sulla trasformata Zu di una successione Periodica antitrasformando risolvo il problema! ok
invece se sfrutto le formule della trasformata in seno e coseno... va ancora bene?


$ Y= z/(z^3 - 1) = 1/3 [ - z( z + 2) / (z^2 + z + 1) + z/ (z - 1)] $

$Z^-1 [ Y ] = 1/3{ z^-1 [ - z( z + 2) / (z^2 + z + 1) + z/ (z - 1)] }$

da cui separando ottengo

1) $ - 1/3 Z^-1 [ z * (z + 2) / (z^2 + z + 1)] $ che anti - trasformando ed eseguendo vari calcoli ottengo
$ -1/3 [ cos (n*2\pi/3) + 5/3*sqrt(3) * sen (n*2\pi/3)] * u(n)$

2) $ 1/3 Z^-1 [ z/ (z - 1)] $ anti trasformando ottengo $ 1/3 * u(n)$

sommandoli

$Z^-1 [ Y ] = 1/3* u(n)* [1/3 - cos (n*2\pi/3) - 5/3*sqrt(3) * sen (n*2\pi/3)] $

la quale mi da per n =0,1,2 i seguenti risultati

n=0 -> 0
n=1 -> -0,26
n=2 -> 0,93

ora vi chiedo sono errati i calcoli, è errato lo svolgimento perchè non posso avere questa forma trigonometrica essendo la successione periodica?
scusatemi ancora
e grazie anticipatamente