Zero di una funzione
mi si chiede di determinare quanti sono i numeri reali per cui la funzione $ y=1/{f^2(x)-9) $ non è definita (devo solo dire quanti sono, e la soluzione è 4).
io però riesco a trovarne solo 2, cioè pongo il denominatore uguale a 0 e trovo $ f^2(x)-9=0 $ per $ x=+-3 $
corretto fino a qui? ma da dove vengono fuori gli altri due zero?
io però riesco a trovarne solo 2, cioè pongo il denominatore uguale a 0 e trovo $ f^2(x)-9=0 $ per $ x=+-3 $
corretto fino a qui? ma da dove vengono fuori gli altri due zero?
Risposte
Pensa che a me ne vengono 6.
E poi dicono che la matematica non è un opinione!
Seriamente:
la funzione $f(x)$ che vedo nell'immagine che hai messo è chiaramente una cubica con $3$ zeri reali
e può essere scritta come
$f(x)=(x - (-1)) (x - 1) (x - 4)$
ed ovviamente semplificata in
$f(x)=(x+1) (x-1) (x-4)$
a questo punto se devo risolvere l'equazione
$f(x)^2-9=0$
mi aspetto $3*2=6$ zeri (reali o complessi che siano)
Ovviamente tutto quello che ho scritto non tiene minimamente conto del fatto che non ho la minima idea di cosa tu voglia intendere con
$f^2(x)$
E poi dicono che la matematica non è un opinione!
Seriamente:
la funzione $f(x)$ che vedo nell'immagine che hai messo è chiaramente una cubica con $3$ zeri reali
e può essere scritta come
$f(x)=(x - (-1)) (x - 1) (x - 4)$
ed ovviamente semplificata in
$f(x)=(x+1) (x-1) (x-4)$
a questo punto se devo risolvere l'equazione
$f(x)^2-9=0$
mi aspetto $3*2=6$ zeri (reali o complessi che siano)
Ovviamente tutto quello che ho scritto non tiene minimamente conto del fatto che non ho la minima idea di cosa tu voglia intendere con
$f^2(x)$
Ciao tgrammer,
No, casomai trovi $f(x) = \pm 3 $...
Questa va corretta con il coefficiente moltiplicativo $1/2 $, altrimenti sarebbe $f(0) = 4 $, mentre invece dal disegno si vede chiaramente che $f(0) = 2 $, sicché
$f(x)= 1/2 (x+1)(x−1)(x−4) $
$f^2(x) - 9 = 1/4 (x + 1)^2 (x - 1)^2 (x - 4)^2 - 9 = 1/4(x - 2)(x^2 - 2x - 5)(x^3 - 4x^2 - x - 2) $
$f^2(x) - 9 = 0 \implies (x^2 - 2x - 5)(x - 2)(x^3 - 4x^2 - x - 2) = 0 $
In effetti l'ultima equazione scritta ha solo $4$ soluzioni reali:
$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt6 $
$x_3 = 2 $
$x_4 = 1/3 (4 + \root[3]{109 - 9 \sqrt(62)} + \root[3]{109 + 9 \sqrt(62)}) $
Per questi $4$ valori reali la funzione $y$ non è definita.
"tgrammer":
pongo il denominatore uguale a 0 e trovo $f^2(x)−9=0$ per $x=\pm 3 $
corretto fino a qui?
No, casomai trovi $f(x) = \pm 3 $...
"reda99":
ed ovviamente semplificata in
$f(x)=(x+1)(x−1)(x−4) $
Questa va corretta con il coefficiente moltiplicativo $1/2 $, altrimenti sarebbe $f(0) = 4 $, mentre invece dal disegno si vede chiaramente che $f(0) = 2 $, sicché
$f(x)= 1/2 (x+1)(x−1)(x−4) $
$f^2(x) - 9 = 1/4 (x + 1)^2 (x - 1)^2 (x - 4)^2 - 9 = 1/4(x - 2)(x^2 - 2x - 5)(x^3 - 4x^2 - x - 2) $
$f^2(x) - 9 = 0 \implies (x^2 - 2x - 5)(x - 2)(x^3 - 4x^2 - x - 2) = 0 $
In effetti l'ultima equazione scritta ha solo $4$ soluzioni reali:
$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt6 $
$x_3 = 2 $
$x_4 = 1/3 (4 + \root[3]{109 - 9 \sqrt(62)} + \root[3]{109 + 9 \sqrt(62)}) $
Per questi $4$ valori reali la funzione $y$ non è definita.
Mi ero focalizzato sul numero degli zeri e non ho fatto caso alla scala. Sorry.
Penso che lo scopo dell'esercizio fosse molto più qualitativo, ovvero basandosi sul disegno che ti dà.
Giustamente tu hai detto che devo risolvere $f^2(x) - 9 = 0$, da cui scomponendo come differenza di quadrati, si ottiene:
$(f(x) -3)(f(x) + 3) = 0$.
Abbiamo allora che o $f(x) = 3$ o $f(x) = -3$. Ricordiamo che $f$ indica "l'altezza", la $y$, dunque cerchiamo i punti ad altezza 3 e -3 della funzione.
Per l'altezza 3, osserviamo dal disegno che c'è una sola $x$ che ha la corrispondente altezza $y = f(x) = 3$.
(immagina di tracciare una linea orizzontale ad altezza 3 e contare quante volte questa linea incontra la tua funzione)
Per l'altezza $-3$, invece, troviamo tre $x$ distinte.
Dunque in totale abbiamo quattro $x$ che risolvono l'equazione $f^2(x) - 9 = 0$, da cui la risposta.
Giustamente tu hai detto che devo risolvere $f^2(x) - 9 = 0$, da cui scomponendo come differenza di quadrati, si ottiene:
$(f(x) -3)(f(x) + 3) = 0$.
Abbiamo allora che o $f(x) = 3$ o $f(x) = -3$. Ricordiamo che $f$ indica "l'altezza", la $y$, dunque cerchiamo i punti ad altezza 3 e -3 della funzione.
Per l'altezza 3, osserviamo dal disegno che c'è una sola $x$ che ha la corrispondente altezza $y = f(x) = 3$.
(immagina di tracciare una linea orizzontale ad altezza 3 e contare quante volte questa linea incontra la tua funzione)
Per l'altezza $-3$, invece, troviamo tre $x$ distinte.
Dunque in totale abbiamo quattro $x$ che risolvono l'equazione $f^2(x) - 9 = 0$, da cui la risposta.
A volte basta riformulare la domanda alla luce di quello che si sa (cioè, Aritmetica, Algebra e Geometria).
Il reciproco di $f^2(x) - 9$ non è definito solo nei punti in cui tale quantità si annulla (questa è Aritmetica), quindi:
Visto che $f^2(x) - 9 = [f(x) - 3][f(x) + 3]$ e che vale la Legge di Annullamento del Prodotto, (per noti fatti di Algebra) posso scrivere la:
ossia:
Ora, facciamo entrare in ballo la Geometria (Analitica ed anche no): dato che le soluzioni di $f(x) = k$ (con $k in RR$) sono le ascisse dei punti di intersezione tra la curva-grafico di equazione $y = f(x)$ e la retta orizzontale di equazione $y = k$ e data la definizione di funzione, posso scrivere la:
Questa domanda si risolve ragionando in maniera puramente grafica, senza mezzo calcolo, sfruttando il grafico presente nel testo:
[asvg]xmin=-4; xmax=6;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2;
plot("0.5*(x+1)*(x-1)*(x-4)", -5, 7); dot([-1,0]); dot([0,2]); dot([1,0]); dot([4,0]);
stroke="black"; line([-5,-3],[7,-3]); line([-5,3],[7,3]); dot([-1.45,-3]); dot([2,-3]); dot([3.45,-3]); dot([4.34,3]);[/asvg]
Quanti punti di intersezione conti?
Il reciproco di $f^2(x) - 9$ non è definito solo nei punti in cui tale quantità si annulla (questa è Aritmetica), quindi:
1° riformulazione: In quanti punti $x$ risulta $f^2(x) - 9 = 0$?
Visto che $f^2(x) - 9 = [f(x) - 3][f(x) + 3]$ e che vale la Legge di Annullamento del Prodotto, (per noti fatti di Algebra) posso scrivere la:
2° riformulazione: In quanti punti $x$ risulta $f(x) -3 = 0$ oppure $f(x) + 3 = 0$?
ossia:
3° riformulazione: In quanti punti $x$ risulta $f(x) = 3$ oppure $f(x) = -3$?
Ora, facciamo entrare in ballo la Geometria (Analitica ed anche no): dato che le soluzioni di $f(x) = k$ (con $k in RR$) sono le ascisse dei punti di intersezione tra la curva-grafico di equazione $y = f(x)$ e la retta orizzontale di equazione $y = k$ e data la definizione di funzione, posso scrivere la:
4° riformulazione (definitiva): In quanti punti del piano la curva-grafico di equazione $y = f(x)$ incontra la coppia di rette parallele $y=3$ ed $y=-3$?
Questa domanda si risolve ragionando in maniera puramente grafica, senza mezzo calcolo, sfruttando il grafico presente nel testo:
[asvg]xmin=-4; xmax=6;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2;
plot("0.5*(x+1)*(x-1)*(x-4)", -5, 7); dot([-1,0]); dot([0,2]); dot([1,0]); dot([4,0]);
stroke="black"; line([-5,-3],[7,-3]); line([-5,3],[7,3]); dot([-1.45,-3]); dot([2,-3]); dot([3.45,-3]); dot([4.34,3]);[/asvg]
Quanti punti di intersezione conti?
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