Zero di un polinomio e ordine dello zero
Buonasera a tutti 
. Scusatemi, quando ci troviamo di fronte ad un polinomio e calcoliamo i suoi zeri, le sue soluzioni per le quali il polinomio si annulla, a tal punto l'ordine dello zero è:
1 se abbiamo il polinomio elevato alla 0,
2 se abbiamo il polinomio elevato al quadrato
3 se abbiamo il polinomio elevato al cubo,
ecc.... ??
O sbaglio?
Grazie, grazie mille.
. Scusatemi, quando ci troviamo di fronte ad un polinomio e calcoliamo i suoi zeri, le sue soluzioni per le quali il polinomio si annulla, a tal punto l'ordine dello zero è:1 se abbiamo il polinomio elevato alla 0,
2 se abbiamo il polinomio elevato al quadrato
3 se abbiamo il polinomio elevato al cubo,
ecc.... ??
O sbaglio?
Grazie, grazie mille.
Risposte
Se intendi l'ordine di infinitesimo di un polinomio per $x \to x_0$, dove $x_0$ è una sua radice, allora esso coincide con la molteplicità $ m $ della radice. Infatti:
$$\frac{P(x)}{(x-x_0)^m} = \frac{(x-x_0)^m Q(x)}{(x-x_0)^m} = Q(x) \to Q(x_0) \ne 0$$
$$\frac{P(x)}{(x-x_0)^m} = \frac{(x-x_0)^m Q(x)}{(x-x_0)^m} = Q(x) \to Q(x_0) \ne 0$$
Grazie . Penso che sul materiale di studio non sia inteso in tal senso 
:/. Dato un polinomio e trovato un suo zero, c'è da trovare l'ordine :/.
Grazie mille
. Penso che sul materiale di studio non sia inteso in tal senso :/. Dato un polinomio e trovato un suo zero, c'è da trovare l'ordine :/.Grazie mille
Mmh, decontestualizzato non mi dice niente. In che contesto hai trovato questo esercizio? Cosa stai studiando?
Il contesto è: integrale curvilineo e (al fine di utilizzare un dato teorema) ricerca dei poli della funzione integranda (siamo nel campo complesso). Si tratta di una funzione razionale (nel mio caso con numeratore pari a 1), si cercano gli zeri del denominatore e a tal punto tali zeri banalmente sono zeri di ordine 0 del numeratore; per trovare il loro ordine riguardo al denominatore io utilizzo la definizione di zero della funzione che richiede di calcolare delle derivate della funzione calcolate nello zero del denominatore. Se tali derivate fino alla n-1 esima sono nulle e la derivata n-esima è diversa da zero allora lo zero del denominatore che stiamo considerando ha ordine n. Però ho notato che il docente durante le lezioni non ha svolto tali derivate per trovare l'ordine dello zero ma ha scritto direttamente di che ordine si trattasse.
Allora da vari esercizi mi è sembrato di intuire che l'ordine di uno zero di un polinomio si possa dedurre facilmente nel modo scritto nel mio primo messaggio (ossia se un polinomio è elevato alla 1, 2 , 3 ecc...). Non è così, giusto? L'unico modo per trovare l'ordine dello zero di una funzione è utilizzare le derivate nel modo scritto sopra?
Grazie, grazie mille per la gentilissima disponibilità.
Allora da vari esercizi mi è sembrato di intuire che l'ordine di uno zero di un polinomio si possa dedurre facilmente nel modo scritto nel mio primo messaggio (ossia se un polinomio è elevato alla 1, 2 , 3 ecc...). Non è così, giusto? L'unico modo per trovare l'ordine dello zero di una funzione è utilizzare le derivate nel modo scritto sopra?
Grazie, grazie mille per la gentilissima disponibilità.
L'ordine di un polo $z_0$ è il più grande intero $p$ per cui $a_{-p} \ne 0$ nello sviluppo di Laurent attorno a $z_0$. Questo è equivalente a dire che $f(z) (z-z_0)^p \to a_{-p} \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$. In sostanza in un intorno di $z_0$ la funzione si comporta come $\frac{1}{(z-z_0)^p}$
Come facciamo allora a determinare l'ordine di un polo? Dobbiamo semplicemente contare la molteplicità dello zero del denominatore purché non sia uno zero anche del numeratore. Questo come si fa? Identificando il fattore $(z-z_0)^p$ al denominatore.
Ad esempio, per $\frac{1}{(z-z_0)^4}$, $z_0$ è un polo di ordine 4. Quindi se ho un polinomio, in generale basta scomporlo e trovare la molteplicità dello $0$ (o derivare come hai detto tu).
Se ho un'altra funzione come faccio? Devo verificare il limite di $|f(z)(z-z_0)^h|$ per $h=0,... ,p$. Se $z_0$ è un polo per $f$ questi limiti verranno tutti $\infty$ finché $h$ non eguaglia l'ordine del polo, caso in cui verrà un numero finito (se hai una singolarità essenziale non temere, non rischi di continuare all'infinito, perché già dal primo limite ti accorgi che il limite non esiste).
Adesso, come faccio a rendermene conto ad occhio? Uso le equivalenze asintotiche: ad esempio \(\displaystyle \sin z \sim z \).
Allora per $\frac{1}{\sin(z-z_0)^2}$, $z_0$ è un polo di ordine 2.
Presta attenzione quando anche il numeratore si annulla nel polo: l'ordine del polo è più piccolo di tante volte quante è la molteplicità dello zero al numeratore.
Ad esempio, $\frac{\sin (z^2)}{z^5}$ ha un polo $0$ di ordine 3 e non 5! Questo perché la molteplicità al denominatore è $5$ e quella al denominatore è $2$.
Questi sono consigli per determinare "a occhio" l'ordine e, in alcuni casi, ti può essere utile. Quando ti sei fatto un'idea di quale possa essere l'ordine, verifichi il limite suddetto e stai sicuro
Venendo ora alla tua domanda, non ho ben capito se quando dici "elevando alla 1,2, ecc." parli della molteplicità dello zero, cioè di $(z-z_0)^p$. Se sì, leggi sopra
Se parli di un polinomio generico, non è detto che elevandolo al quadrato hai un polo di ordine 2.
Ad esempio, per $\frac{1}{(z^2-3z+2)\sin(z-1)}$, $1$ è un polo di ordine 2, e $2$ è un polo di ordine 1. Perciò se elevo al quadrato, ottengo rispettivamente ordine 4 e 2. Se elevo al cubo ottengo rispettivamente ordine 6 e 3, ecc.
Ma forse non era questo la tua domanda
Come facciamo allora a determinare l'ordine di un polo? Dobbiamo semplicemente contare la molteplicità dello zero del denominatore purché non sia uno zero anche del numeratore. Questo come si fa? Identificando il fattore $(z-z_0)^p$ al denominatore.
Ad esempio, per $\frac{1}{(z-z_0)^4}$, $z_0$ è un polo di ordine 4. Quindi se ho un polinomio, in generale basta scomporlo e trovare la molteplicità dello $0$ (o derivare come hai detto tu).
Se ho un'altra funzione come faccio? Devo verificare il limite di $|f(z)(z-z_0)^h|$ per $h=0,... ,p$. Se $z_0$ è un polo per $f$ questi limiti verranno tutti $\infty$ finché $h$ non eguaglia l'ordine del polo, caso in cui verrà un numero finito (se hai una singolarità essenziale non temere, non rischi di continuare all'infinito, perché già dal primo limite ti accorgi che il limite non esiste).
Adesso, come faccio a rendermene conto ad occhio? Uso le equivalenze asintotiche: ad esempio \(\displaystyle \sin z \sim z \).
Allora per $\frac{1}{\sin(z-z_0)^2}$, $z_0$ è un polo di ordine 2.
Presta attenzione quando anche il numeratore si annulla nel polo: l'ordine del polo è più piccolo di tante volte quante è la molteplicità dello zero al numeratore.
Ad esempio, $\frac{\sin (z^2)}{z^5}$ ha un polo $0$ di ordine 3 e non 5! Questo perché la molteplicità al denominatore è $5$ e quella al denominatore è $2$.
Questi sono consigli per determinare "a occhio" l'ordine e, in alcuni casi, ti può essere utile. Quando ti sei fatto un'idea di quale possa essere l'ordine, verifichi il limite suddetto e stai sicuro
Venendo ora alla tua domanda, non ho ben capito se quando dici "elevando alla 1,2, ecc." parli della molteplicità dello zero, cioè di $(z-z_0)^p$. Se sì, leggi sopra
Se parli di un polinomio generico, non è detto che elevandolo al quadrato hai un polo di ordine 2.
Ad esempio, per $\frac{1}{(z^2-3z+2)\sin(z-1)}$, $1$ è un polo di ordine 2, e $2$ è un polo di ordine 1. Perciò se elevo al quadrato, ottengo rispettivamente ordine 4 e 2. Se elevo al cubo ottengo rispettivamente ordine 6 e 3, ecc.
Ma forse non era questo la tua domanda
Grazie, grazie, grazie, grazie ^_^..
Forse la mia domanda riguarda la parte più semplice del lodevole Suo messaggio ^_^ cio è:
Poniamo l'attenzione solo sugli zeri di un polinomio che sta al denominatore di una funzione razionale (per semplicità massima, consideriamo il numeratore uguale a 1 e denominatore uguale al polinomio che stiamo considerando) e tali che essi non siano zeri del numeratore. Ora, è corretto affermare che l'ordine ossia la molteplicità dello zero del polinomio che sta al denominatore è 1 se il suddetto p = 1, 2 se p = 2, ecc...??
Ancora grazie mille ^_^
Forse la mia domanda riguarda la parte più semplice del lodevole Suo messaggio ^_^ cio è:
Poniamo l'attenzione solo sugli zeri di un polinomio che sta al denominatore di una funzione razionale (per semplicità massima, consideriamo il numeratore uguale a 1 e denominatore uguale al polinomio che stiamo considerando) e tali che essi non siano zeri del numeratore. Ora, è corretto affermare che l'ordine ossia la molteplicità dello zero del polinomio che sta al denominatore è 1 se il suddetto p = 1, 2 se p = 2, ecc...??
Ancora grazie mille ^_^
Ah ok, allora certo, perché quella $p$ all'esponente è proprio la molteplicità!
Figurati! Spero di essere stato chiaro
Figurati! Spero di essere stato chiaro
Grazie mille . Dunque l'ordine di uno zero di un polinomio è la molteplicità dello zero (ovvero quel numero a cui è elevato a potenza il polinomio) ?
. Dunque l'ordine di uno zero di un polinomio è la molteplicità dello zero (ovvero quel numero a cui è elevato a potenza il polinomio) ?
Esattamente (il numero a cui è elevato $(z-z_0)$ dove $z_0$ è lo zero)
Grazie . Io però, forse erroneamente, non "pensavo" al polinomio scomposto come da Lei scritto sopra ma intendevo un generico polinomio, ad esempio di secondo grado e supponendo ad esempio che fosse elevato al quadrato . In quest'ultimo caso non va bene affermare che l'ordine di uno zero di un polinomio è la molteplicità dello zero (ovvero quel numero a cui è elevato a potenza il polinomio)?
Ancora grazie mille.
. Io però, forse erroneamente, non "pensavo" al polinomio scomposto come da Lei scritto sopra ma intendevo un generico polinomio, ad esempio di secondo grado e supponendo ad esempio che fosse elevato al quadrato . In quest'ultimo caso non va bene affermare che l'ordine di uno zero di un polinomio è la molteplicità dello zero (ovvero quel numero a cui è elevato a potenza il polinomio)?Ancora grazie mille.
"L'ordine dello zero" (*) è la molteplicità dello zero! Se elevi al quadrato, raddoppi la molteplicità di tutti gli zeri, ma comunque devi sapere quanto è quella del polinomio base (come nell'esempio che ti ho fato prima). E per fare questo devi vedere sempre la potenza di $(z-z_0)$
(*)[size=85]In genere infatti si parla di molteplicità della radice (o dello zero) e non ordine dello zero. Mentre si parla di ordine del polo, che come abbiamo osservato coincide con la molteplicità della radice del polinomio al denominatore, purché il numeratore non si annulli nello stesso punto[/size]
(*)[size=85]In genere infatti si parla di molteplicità della radice (o dello zero) e non ordine dello zero. Mentre si parla di ordine del polo, che come abbiamo osservato coincide con la molteplicità della radice del polinomio al denominatore, purché il numeratore non si annulli nello stesso punto[/size]
Grazie mille . Quindi, per sapere la molteplicità dello zero, se ci troviamo con un polinomio di secondo, terzo, ...n-mo grado dobbiamo necessariamente scomporlo tramite ad esempio il teorema di Ruffini (in questo momento non mi sovviene altro metodo ) in modo da avere il polinomio nella forma z - z0 (eventualmente prodotto di fattori di tale forma) ?
. Quindi, per sapere la molteplicità dello zero, se ci troviamo con un polinomio di secondo, terzo, ...n-mo grado dobbiamo necessariamente scomporlo tramite ad esempio il teorema di Ruffini (in questo momento non mi sovviene altro metodo ) in modo da avere il polinomio nella forma z - z0 (eventualmente prodotto di fattori di tale forma) ?
Sì, oppure derivando finché non trovi la prima derivata che non si annulla in quello zero (come dicevi prima). Ovviamente però lo zero devi trovarlo
Grazie mille . Quindi ricapitolando, o scomporre il polinomio con Ruffini per avere il polinomio nella forma z - z0 (e a tal punto lamolteplicità sarà la p a cui è elevato z - z0) oppure derivare la funzione come fino a trovare la prima derivata che non si annulla nel punto z0 :/.. Io pensavo che fosse anche possibile determinare la molteplicità dello zero senza scomporre il polinomio di partenza nel prodotto di fattori della forma z - z0.. e invece non è così .
. Quindi ricapitolando, o scomporre il polinomio con Ruffini per avere il polinomio nella forma z - z0 (e a tal punto lamolteplicità sarà la p a cui è elevato z - z0) oppure derivare la funzione come fino a trovare la prima derivata che non si annulla nel punto z0 :/.. Io pensavo che fosse anche possibile determinare la molteplicità dello zero senza scomporre il polinomio di partenza nel prodotto di fattori della forma z - z0.. e invece non è così .
Esattamente No, a priori non puoi saperlo: prendi $(z-3)^2(z-4)$ e $(z-3)(z-4)^2$, entrambi polinomi di terzo grado con radici $3$ e $4$, ma nel primo la molteplicità è 2 e 1 rispettivamente, nel secondo è invertita.
No, a priori non puoi saperlo: prendi $(z-3)^2(z-4)$ e $(z-3)(z-4)^2$, entrambi polinomi di terzo grado con radici $3$ e $4$, ma nel primo la molteplicità è 2 e 1 rispettivamente, nel secondo è invertita.
Grazie mille . Mi perdoni per un'ultima domanda. L'unico modo per scomporre un generico polinomio di grado n è l'utilizzo del teorema di Ruffini?
. Mi perdoni per un'ultima domanda. L'unico modo per scomporre un generico polinomio di grado n è l'utilizzo del teorema di Ruffini?
A parte i casi in cui si vede a "occhio" usando opportuni raccoglimenti, o usando prodotti notevoli, ecc., sì. Devi trovare le radici e dividere il polinomio.
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