Zeri di una funzione polinomiale.
Buongiorno,
ho il seguente esercizio, dove chiede di dimostrare che, sia $f$ definita in $mathbb{R}$, da
$f(x)=x^n+ax+b$
dove $n ge 2\ :\ n in mathbb{N}\,\ a,b\ in mathbb{R}$, dimostrare che
1. $n$ pari, $f$ non può avere più di due zeri;
2. $n$ dispari, $f$ non può avere più di tre zeri.
Procedo cosi,
Sia $n$ pari, considero $f'=nx^(n-1)+a$, ottengo $f' ge 0$, per $x ge (-a/n)^(1/(n-1))$,
concludo dicendo che $f$ risulta essere crescente nel suo domino per $x ge (-a/n)^(1/(n-1))$, decrescente altrove, inoltre, essendo che il $lim_(x to +- infty) f(x)=+infty$ si ha un punto di minimo assoluto, il quale lo si ha per $A=(-a/n)^(1/(n-1)), f((-a/n)^(1/(n-1)))$.
Il secondo punto, è molto simile come ragionamento, al primo punto, occore imporre solo che $a<0$.
Mi chiedo qualora fosse corretto il mio ragionamento, bisogna studiare anche i coefficienti?
Cordiali saluti.
ho il seguente esercizio, dove chiede di dimostrare che, sia $f$ definita in $mathbb{R}$, da
$f(x)=x^n+ax+b$
dove $n ge 2\ :\ n in mathbb{N}\,\ a,b\ in mathbb{R}$, dimostrare che
1. $n$ pari, $f$ non può avere più di due zeri;
2. $n$ dispari, $f$ non può avere più di tre zeri.
Procedo cosi,
Sia $n$ pari, considero $f'=nx^(n-1)+a$, ottengo $f' ge 0$, per $x ge (-a/n)^(1/(n-1))$,
concludo dicendo che $f$ risulta essere crescente nel suo domino per $x ge (-a/n)^(1/(n-1))$, decrescente altrove, inoltre, essendo che il $lim_(x to +- infty) f(x)=+infty$ si ha un punto di minimo assoluto, il quale lo si ha per $A=(-a/n)^(1/(n-1)), f((-a/n)^(1/(n-1)))$.
Il secondo punto, è molto simile come ragionamento, al primo punto, occore imporre solo che $a<0$.
Mi chiedo qualora fosse corretto il mio ragionamento, bisogna studiare anche i coefficienti?
Cordiali saluti.
Risposte
Io la farei più semplice: nel caso $n$ pari, se $f$ avesse 3 zeri distinti allora per il Teorema di Rolle $f$ dovrebbe avere almeno due punti critici distinti, e questo è impossibile perché l'equazione $f'=0$ ha al più una soluzione reale.
Ottimo, belli passaggi 
Ma il mio potrebbe andare bene, oppure non va bene
Ma il mio potrebbe andare bene, oppure non va bene
Hai scritto cose giuste ma non sta scritto come da quelle considerazioni discende il fatto che $f$ ha al massimo due zeri.
Si.
Risolvendo $f'=0$ mi ricavo i punti critici di $f$, dove risulta solo un punto critico $x_0=(-a/n)^(1/(n-1))$.
Risolvendo $f' ge 0$, ottengo l'andamento di $f$, dove risulta crescente per ogni $x ge x_0$ e decrescente per ogni $x le x_0$.
Di conseguenza, in funzione dei coefficienti $a,b$, si ha che $f$ interseca con l'asse $x$ al più in due punti.
Risolvendo $f'=0$ mi ricavo i punti critici di $f$, dove risulta solo un punto critico $x_0=(-a/n)^(1/(n-1))$.
Risolvendo $f' ge 0$, ottengo l'andamento di $f$, dove risulta crescente per ogni $x ge x_0$ e decrescente per ogni $x le x_0$.
Di conseguenza, in funzione dei coefficienti $a,b$, si ha che $f$ interseca con l'asse $x$ al più in due punti.
"galles90":
Di conseguenza, in funzione dei coefficienti $a,b$, si ha che $f$ interseca con l'asse $x$ al più in due punti.
Non è chiaro questo punto: perché dall'esistenza di un solo punto critico deduci questo?
perchè $f$, nel punto critico, ha un cambio di monotonia, quindi essendo l'unico punto critico, non ci sono più cambi di monotonia. Per cui questo mi porta a pensare che $f$ interseca una volta con l'asse $x$ in senso decrescente, e una volta con l'asse $x$ in senso crescente.
L'ammetto non è preciso quello che ho detto
L'ammetto non è preciso quello che ho detto
E' una spiegazione euristica. Io credo che un buon modo per dirlo sia ciò che dicevo, l'applicazione del teorema di Rolle.
Va bene, quindi sintesi dovrei dire che
e concludo ?
"Luca.Lussardi":
nel caso $ n $ pari, se $ f $ avesse 3 zeri distinti allora per il Teorema di Rolle $ f $...
e concludo ?
Si. Puoi fare lo stesso ragionamento se $n$ è dispari.
Grazie per l'aiuto. Ciao
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