Zeri di una funzione

[nico12345]

Io ho questa funzione $(log(x))^3/(x^2)$ il $log$ è in base $e$.

1)Dunque $f(x)=0$ a quanto corrisponde?
Io ho messo come risposta $x^3=1$ sarebbe a dire: radcubica di 1

2)$f'(x)=0$ ? La derivata di $f(x)$ è: $(3*log^2(x)-2*log^3(x))/(x^3)$;

3)Ed infine, gli zeri della derivata seconda che è: $(3*log(x)*(2*log^2(x)-5*log(x)+2))/(x^4)$.

Scrivere $log^2(x)$ o $log(x)^2$ o $(log(x))^2$ è la stessa cosa?

Mostratemi i passaggi,grazie!

So che bisognerebbe fare una piccola operazione algebrica per il passaggio dal $log$ in base $e$ a $Exp$ che sta per esponenziale.Esplicitate il passaggio suddetto ,grazie

[chiaraotta1]

1)
$f(x) = 0 -> ln(x)=0 -> x = e^0 = 1$

2)
$f'(x) = (3*ln^2(x)-2ln^3(x))/x^3 = (ln^2(x))/x^3 * (3-2*ln(x))$.
Quindi
$f'(x)=0$ se
a) $ln(x) = 0 -> x = e^0 = 1$,
b) $3-2*ln(x)=0 -> ln(x)=3/2 -> x=e^(3/2)~=4.48$.

3)
$f''(x) = (3*ln(x)*(2*ln^2(x)-5*ln(x)+2))/(x^4)= (6*ln(x)*(ln(x)-1/2)*(ln(x)-2))/(x^4)$.
Quindi
$f''(x)=0$ se
a) $ln(x)=0 -> x = e^0 = 1$,
b) $ln(x)=1/2 -> x = e^(1/2) = sqrt(e)$,
c) $ln(x) = 2 -> x = e^2$.

"NICKS23":
....
Scrivere $log^2(x)$ o $log(x)^2$ o $(log(x))^2$ è la stessa cosa?
....

Sì e naturalmente è $!=log(x^2)$.

[nico12345]

Non capisco questo passaggio potresti chiarirmelo?: $3*ln(x)*(2*ln^2(x)-5*ln(x)+2)/(x^4) = (6*ln(x)*(ln(x)-1/2)*(ln(x)-2))/(x^4)$

e $f(x)=0$ di $(2-(1/x)-ln(x))$?

grazie ancora!

[chiaraotta1]

"NICKS23":Non capisco questo passaggio potresti chiarirmelo?: $3*ln(x)*(2*ln^2(x)-5*ln(x)+2)/(x^4) = (6*ln(x)*(ln(x)-1/2)*(ln(x)-2))/(x^4)$
....

Ho scomposto il fattore $2*ln^2(x)-5*ln(x)+2$:
$2*ln^2(x)-5*ln(x)+2=2*(ln^2(x)-5/2*ln(x)+1)=2*(ln^2(x)- 2*ln(x)-1/2*ln(x)+1)=$
$2*[ln(x)(ln(x)- 2)-1/2*(ln(x)-2)]=2*(ln(x)-1/2)*(ln(x)- 2)$.
Quindi
$3*ln(x)*(2*ln^2(x)-5*ln(x)+2)=3*ln(x)*2*(ln(x)-1/2)*(ln(x)- 2)=6*ln(x)*(ln(x)-1/2)*(ln(x)-2)$.

"NICKS23":
....
e $f(x)=0$ di $(2-(1/x)-ln(x))$?
....

Scusa, ma non riesco a capire a cosa ti riferisci ...

[nico12345]

Parlo degli zeri di questa nuova funzione se ne ha $(2-(1/x)-ln(x))$.Grazie sei molto gentile.

[chiaraotta1]

Non credo che ci sia un modo di calcolare gli zeri esattamente.
Io studierei sommariamente l'andamento della funzione $f(x) = 2 - 1/x - ln(x)$.
Questa è definita e continua per $x>0$, il $lim_(x->0^+)f(x) = -oo$, il $lim_(x->+oo)f(x) = -oo$.
Inoltre $f'(x) = 1/x^2 - 1/x$ che è $=0$ per $x=1$, è $>0$ per $01$.
Quindi $f(x)$ ha un massimo in $(1, 1)$.
Perciò la curva interseca una prima volta l'asse $x$ fra $0$ e $1$ ($~=0.3$) e una seconda sopra $1$ ($~=6.3$).

[nico12345]

Nuova funzione : (1)$f(x)=sqrt(x)*(e^-x)$

Derivata prima di f(x): (2)$e^-x/(2*sqrt(x))*(e^-x*sqrt(x))$

Andamento di $f'(x)$: per $x->0+$ ,$f'(x)->$ $+\infty$; pertanto il dominio di$f'(x)$ è ($0$,$+\infty$).Dunque per $x=0$ , $f(x)$ è continua ma non derivabile: ($x=0$ è un punto a tangente verticale).

Mi mancano sempre gli zeri di $f'(x)$=

E il minimo di questa seconda funzione: (3) $(9*root(9)(x)*e^(x/9))$

il grafico di f(x): la funzione (3)


Penso,almeno lo spero, che sia leggibile.Grazie ancora.

[chiaraotta1]

"NICKS23":
Nuova funzione : (1)$f(x)=sqrt(x)*(e^-x)$
....

Non sono sicura di aver capito quello che hai scritto: comunque a me la derivata di $f(x)=sqrt(x)* e^(-x)$ risulta essere $f'(x)= (e^(-x)*(1-2*x))/(2*sqrt(x))$.
Se è così, allora
$f'(x)=0$ per $x=1/2$ e $f(1/2)=1/sqrt(2)*e^(-1/2)=sqrt(2)/(2*sqrt(e))$.

[nico12345]

Si che ciuco...avevo sbagliato completamente a scrivere sul quaderno la derivata ...

(3) $9*(root(9)(x))*(e^(x/9))$ di questa funzione la derivata prima è : $(((e^(x/9))*(x+1))/(x^(8/9)))$ e $f'(x)=0$ -> $x=-1$

E' esatta?

[chiaraotta1]

Torna così anche a me ...

[nico12345]

$f(x)=((3*(e^(x-1)))/(1+x)-x)$

$f(x)=0 ->$ $3*(e^(x-1))-x*(1+x)=0$

Per quanto riguarda il denominatore invece: $1+x=0$ $->$ $x=-1$ $notin$ Dominio

La $3*(e^(x-1))-x*(1+x)=0$ può essere risolta?

[chiaraotta1]

Non mi sembra in modo esatto. Bisognerebbe studiare l'andamento di $f(x)$, però anche lo studio di $f'(x)= (3*x*e^(x-1))/(1+x)^2-1$ non mi pare semplice.

[nico12345]

Dire se il punto 0 è un punto di massimo o di minimo relativo:

(1) $x^3*log(1-x)$ $->$ $f'(x)=(x^2*(x+3*(1-x)*log(1-x)))/(1-x)$

$f'(x)=0$ ?

[chiaraotta1]

Se $f(x)=x^3*ln(1 - x)$, a me sembra che $f'(x) = x^2*(3*(x - 1)*ln(1 - x) + x)/(x - 1)$ ...
In ogni caso, se studi il segno di $f(x)$, vedi subito che $f(x)<0$ per $x<0$, $f(x)=0$ per $x=0$ e $f(x)<0$ per $0

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[nico12345]

Studio di funzione : $f(x)=(1-x)/(ln(2-x)-1)$
Dominio:
$C.E.$$->$$AA$ $x$ $in$ $RR$ $:$ $x$ $<$ $e$

Non presenta simmetrie;

Intersezione con gli assi:

$f(0)=3.25$
$Per$ $y=0$ $->$ $x=1$ $in$ $f(x)$ e $x=e$ $notin$ $D$

Segno:

Per $f(x)$ $>$ $0$ $hArr$ $x<1$ e $x
Limiti li tralascio anche perche non riesco a trovare corrispondenza con il grafico,ma neanche con il resto a dire il vero.

$f'(x)$ $=$ $-((ln(2-x)-1-x+1)/(ln((2-x)-1))^2)$

Il Grafico di f(x):

[chiaraotta1]

Trovo dei risultati diversi ....
Se $f(x)=(1-x)/(ln(2-x)-1)$,
per il $CE$ deve essere $2-x>0 -> x<2$ e $ln(2-x)-1!=0 ->2-x!=e->x!=2-e$;
$f(0)=1/(ln(2)-1)~= -3.3$;
$f(x)=0->x=1$;
per il segno: il numeratore è $>0$ per $x<1$ e $<0$ per $10$ per $x<2-e$ e $<0$ per $2-e0$ per $x<2-e$, $f(x)<0$ per $2-e0$ per $1 $f'(x) = ((x - 2)*ln(2 - x) - 2*x + 3)/((2 - x)*(ln(2 - x) - 1)^2)$.

[nico12345]

Anche i Limiti non mi tornano,mannaggia...

[chiaraotta1]

Non mi sembra che i limiti siano particolarmente complicati, anche perché c'è il controllo del segno della funzione che è già stato stabilito:
per $x->-oo$ si ha un limite della forma $[(+oo)/(+oo)]$, ma applicando la regola de l'Hospital si trova subito che il limite è $+oo$;
per $x->2^-$ si ha un limite della forma $[(-1)/(-oo)]$ e quindi il limite è $0^+$;
per $x->(2-e)^-$ si ha un limite della forma $[(e-1)/(0^+)]$ e quindi il limite è $+oo$;
per $x->(2-e)^+$ si ha un limite della forma $[(e-1)/(0^-)]$ e quindi il limite è $-oo$.

[nico12345]

studio di funzione: $f(x)$ $=$ $(x*ln(3+x)-1)/(x^2)$

1)Dominio:

$x*ln(3+x)-1$ $>=$ $0$ $->$ $ln(3+x)$ $>=$ $e$ $->$ $x$ $>=$ $e-3$
$3+x$ $>$ $0$ $->$ $x$ $>$ $3$
$x$ $!=$ $0$

$C.E.$ $->$ $AA$ $x$ $in$ $R$ $:$ $x$ $>$ $0$ $vv$ $e-3$ $<=$ $x$ $<$ $-3$

2) Non presenta simmetrie

3) Intersezione assi:

$f(x)=0$ $((x*ln(3+x)-1)/(x^2))$ $=$ $0$ $hArr$ $x=-3$ $notin$ $f(x)$ $vv$ $x=e-3$

4)Segno:

$f(x)$ $>=$ $0$ $hArr$ $x>0$ $vv$ $-3$ $<$ $x$ $<=$ $e-3$
$f(x)$ $<=$ $0$ $hArr$ $e-3$ $<=$ $x$ $<$ $0$

5)Derivata prima:

$f'(x)$ $=$ $(x^2-2*x+(x+3)*x*ln(3+x)+6)/((x^3)*(x+3))$

7) Limiti:

per $x$ $->$ $+\infty$ $=$ $[(+\infty)/(+\infty) ]$ usando de l'hopital si ha : $[(1)/ (\+infty)]$ $=$ $0+$

per $x$ $->$ $0-$ $=$ $[(\infty)/(0-)]$ $=$ $-\infty$

per $0+$ si ha $-\infty$

per $x$ $->$ $-3$$+$ $=$ $[(\infty)/(-3)]$ $=$ $0-$

per $x$ $->$ $[e-3]+-$ usando de l'hopital: $[(1/e)/(1)]$ $=$ $0+-$

Dove ho sbagliato e se si aiutatemi a capire grazie

Grafico di $f(x)$ :

[chiaraotta1]

$f(x)=(x*ln(3+x)-1)/(x^2)$

1)Dominio:

$3+x>0-> x>$ $-3$
$x!=0$

2) Non presenta simmetrie

3) Intersezione asse $x$:

$f(x)=0$ $x*ln(3+x)-1=0 -> ln(3+x)=1/x -> 3+x=e^(1/x)$
Se cerchi gli zeri studiando graficamente le intersezioni tra $g(h)= 3+x$ e $h(x)=e^(1/x)$, ne trovi due: una a $x_1 ~=-2.3$ e un'altra a $x_2~=0.75$.

4)Segno
Tenendo conto anche dei limiti calcolati sotto risulta:
$f(x)>0$ per $-30$ per $x>x_2$.

5)Derivata prima:

$f'(x)=- (x·(x + 3)·ln(x + 3) - x^2 - 2·x - 6)/(x^3·(x + 3))$

7) Limiti:

per $x->+\infty$ usando de l'Hopital si ha $[(1)/ (\+infty)]=0^+$

per $x->0^-$ si ha $-\infty$

per $x->0^+$ si ha $-\infty$

per $x->-3^+$ si ha $[(+\infty)/(9)]=+\infty$