Zeri di un polinomio
Ciao a tutti,
la mia professoressa di Analisi Matematica I oggi ha presentato questo tipo di esercizio:
"Provare che l'equazione \(x^3 + e^x + arctg(x) +1 = 0\) ammette una e una sola soluzione e stabilirne il segno."
Ho provato a capire quale metodo adottare per risolvere questo esercizio ma non sono arrivato a nessuna soluzione. Non ho proprio idee su come risolverlo. Potreste aiutarmi?
la mia professoressa di Analisi Matematica I oggi ha presentato questo tipo di esercizio:
"Provare che l'equazione \(x^3 + e^x + arctg(x) +1 = 0\) ammette una e una sola soluzione e stabilirne il segno."
Ho provato a capire quale metodo adottare per risolvere questo esercizio ma non sono arrivato a nessuna soluzione. Non ho proprio idee su come risolverlo. Potreste aiutarmi?
Risposte
Pensa alla funzione che ciascun addendo rappresenta, come è fatta $f(x)=x^3$?
e $g(x)=e^x$?
e $g(x)=e^x$?
Scusa ma non ho capito, ho presente come sono fatte sia \(f(x)\) sia \(g(x)\). Sono funzioni crescenti. Questo come può aiutarmi?
Io so che tutte queste funzioni intersecano una sola volta l'asse delle \(\displaystyle x \) ovvero \(\displaystyle y=0 \) e quindi la loro somma dovrebbe fare lo stesso.
Io so che tutte queste funzioni intersecano una sola volta l'asse delle \(\displaystyle x \) ovvero \(\displaystyle y=0 \) e quindi la loro somma dovrebbe fare lo stesso.
e dell'arcotangente che mi dici?
Anche l'arcotangente si comporta nello stesso modo ed anche lei è crescente.
Come detto prima so che tutte queste funzioni intersecano una sola volta l'asse delle \(\displaystyle x \) ovvero \(\displaystyle y=0 \) e quindi la loro somma dovrebbe fare lo stesso. Mi basta questo per dire che l'equazione ammette una e una sola soluzione?
Bene
trovare $x$ tale che renda vera la tua equazione è come studiare la
$f(x)=x^3+e^x+arctg(x)+1$
e vedere dove incontra l'asse delle x, cioè fare l'intersezione con l'asse $y=0$
ora puoi farti una idea qualitativa di come sarà fatto il grafico di quella funzione?
devi anche dirmi da che parte (semiasse positivo o negativo) il grafico interseca l'asse x.
trovare $x$ tale che renda vera la tua equazione è come studiare la
$f(x)=x^3+e^x+arctg(x)+1$
e vedere dove incontra l'asse delle x, cioè fare l'intersezione con l'asse $y=0$
ora puoi farti una idea qualitativa di come sarà fatto il grafico di quella funzione?
devi anche dirmi da che parte (semiasse positivo o negativo) il grafico interseca l'asse x.
Si, il grafico della funzione segue l'andamento delle tre funzioni e interseca il semiasse negativo delle l'asse x.
sono d'accordo con te.
vuoi provare qualche altro esercizio di questo tipo?
vuoi provare qualche altro esercizio di questo tipo?
Quindi posso concludere dopo tutte queste ipotesi che l'equazione ammette una e una sola soluzione. E per il segno?
Si vorrei fare qualche altro esercizio di questo tipo
Si vorrei fare qualche altro esercizio di questo tipo
Io avrei fatto così:
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