Zeri delle derivate seconde
Buongiorno a tutti...
Non comprendo il perché della risposta al quesito:
data f(x) una funzione reale a variabili reali, derivabile due volte su R, con f(-20)=0, f(10)=0, f(25)=0, risulta vero che:
risposta corretta: esiste almeno uno 0 della derivata seconda di f.
Potreste aiutarmi a capire perché? Grazie in anticipo
Non comprendo il perché della risposta al quesito:
data f(x) una funzione reale a variabili reali, derivabile due volte su R, con f(-20)=0, f(10)=0, f(25)=0, risulta vero che:
risposta corretta: esiste almeno uno 0 della derivata seconda di f.
Potreste aiutarmi a capire perché? Grazie in anticipo
Risposte
Teorema di Rolle? 
Ok, ma dal momento che va dimostrata l'esistenza di uno zero almeno della derivata seconda e non prima, dovrei applicarlo tre volte?
Per spiegarmi meglio: lo applico due volte alla funzione base, usando come coppie di valori di x con immagine identica prima, per esempio, -20 e 10, e successivamente -20 e 25, dimostrando così l'esistenza di due zeri della funzione derivata prima... dopodiché lo applico un'ultima volta proprio alla derivata prima, usando i valori di x (impliciti) corrispondenti a quelli dei due zeri trovati, dimostrando così l'esistenza di almeno uno zero della funzione derivata della derivata prima, ovvero della funzione derivata seconda. Corretto?
Grazie mille intanto!
Per spiegarmi meglio: lo applico due volte alla funzione base, usando come coppie di valori di x con immagine identica prima, per esempio, -20 e 10, e successivamente -20 e 25, dimostrando così l'esistenza di due zeri della funzione derivata prima... dopodiché lo applico un'ultima volta proprio alla derivata prima, usando i valori di x (impliciti) corrispondenti a quelli dei due zeri trovati, dimostrando così l'esistenza di almeno uno zero della funzione derivata della derivata prima, ovvero della funzione derivata seconda. Corretto?
Grazie mille intanto!
Se lo applichi come hai fatto te, non sai se i punti che ottieni sono diversi, ma l'idea è giusta, va solo applicata un pochino meglio, ovvero applichi Rolle prima tra $-20$ e $10$ poi tra $10$ e $25$ è poi alla derivata sui due nuovi punti che hai ottenuto.
Ok, in modo che sia applicato su due intervalli diversi e che uno non includa l'altro.. capito, grazie ancora a entrambi!!
Ad ogni modo, tieni presente che questo è un risultato che si può generalizzare in maniera semplice a derivate d'ordine maggiore.
In generale, se hai una funzione derivabile $N$ volte in un intervallo e che ha $N+1$ zeri distinti in tale insieme, allora le sue derivate prima, seconda, terza, ..., $N$-esima si annullano rispettivamente in $N$, $N-1$, $N-2$ ..., $1$ punti distinti.
Risultati di questo tipo si chiamano, in gergo, teoremi di separazione degli zeri perché mostrano che gli zeri di una funzione sono intercalati agli zeri della sua derivata.
In generale, se hai una funzione derivabile $N$ volte in un intervallo e che ha $N+1$ zeri distinti in tale insieme, allora le sue derivate prima, seconda, terza, ..., $N$-esima si annullano rispettivamente in $N$, $N-1$, $N-2$ ..., $1$ punti distinti.
Risultati di questo tipo si chiamano, in gergo, teoremi di separazione degli zeri perché mostrano che gli zeri di una funzione sono intercalati agli zeri della sua derivata.
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