Zeri della trasformata z e trasformata di fourier
Ciao ragazzi, volevo chiedervi un dubbio che mi assilla.
Spesso in ingegneria lavoriamo con degli impulsi temporali detti Root Raised Cosine, che se campionati, i campioni $g_l$ hanno una trasformata discreta di fourier
$G(e^{i\omega})=sum_{l=-oo}^{oo}g_l e^{i\omega l}$
che ha una zona che vale zero per $\omega in [(1+\alpha)T_c/2,1-(1+\alpha)T_c/2]$ e diverso da zero altrove, dove $T_c<1$ è il tempo di campionamento dell'impulso, e $\alpha$ un parametro di progettazione, che nel mio caso specifico è scelto $\alpha=0.2$
Quando si utilizza invece la trasformata Zeta, si ha una serie di potenze:
$G(z)=sum_{l=-oo}^{oo}g_l z^{l}$
e per la trasformata Zeta esiste una relazione con la trasformata di Fourier discreta pari a:
$G(z)|_{z=e^{i\omega}}=G(e^{i\omega})$
Quello che pensavo è questo: se per la trasformata di fourier vale $G(e^{j\omega})=0$ per $\omega in [(1+\alpha)T_c/2,1-(1+\alpha)T_c/2]$, allora la trasformata Z ha un numero infinito di punti disposti sulla circonferenza unitaria per cui vale $G(z)=0$ per ogni $z=e^{i\omega}$ tale che $ \omega in [(1+\alpha)T_c/2,1-(1+\alpha)T_c/2]$ .
Inoltre essendo una serie di potenze complessa, esiste una corona circolare centrata in zero $\Omega=C(0,R_1,R_2)$ con $R_1<1
Volevo chiedervi, dov'è sbagliato il mio ragionamento? Nel dire che è olomorfa?
Spesso in ingegneria lavoriamo con degli impulsi temporali detti Root Raised Cosine, che se campionati, i campioni $g_l$ hanno una trasformata discreta di fourier
$G(e^{i\omega})=sum_{l=-oo}^{oo}g_l e^{i\omega l}$
che ha una zona che vale zero per $\omega in [(1+\alpha)T_c/2,1-(1+\alpha)T_c/2]$ e diverso da zero altrove, dove $T_c<1$ è il tempo di campionamento dell'impulso, e $\alpha$ un parametro di progettazione, che nel mio caso specifico è scelto $\alpha=0.2$
Quando si utilizza invece la trasformata Zeta, si ha una serie di potenze:
$G(z)=sum_{l=-oo}^{oo}g_l z^{l}$
e per la trasformata Zeta esiste una relazione con la trasformata di Fourier discreta pari a:
$G(z)|_{z=e^{i\omega}}=G(e^{i\omega})$
Quello che pensavo è questo: se per la trasformata di fourier vale $G(e^{j\omega})=0$ per $\omega in [(1+\alpha)T_c/2,1-(1+\alpha)T_c/2]$, allora la trasformata Z ha un numero infinito di punti disposti sulla circonferenza unitaria per cui vale $G(z)=0$ per ogni $z=e^{i\omega}$ tale che $ \omega in [(1+\alpha)T_c/2,1-(1+\alpha)T_c/2]$ .
Inoltre essendo una serie di potenze complessa, esiste una corona circolare centrata in zero $\Omega=C(0,R_1,R_2)$ con $R_1<1
Volevo chiedervi, dov'è sbagliato il mio ragionamento? Nel dire che è olomorfa?
Risposte
Per te una funzione olomorfa può avere uno sviluppo in serie con potenze negative? 
uhmmm... sicuramente mi mancano delle basi di analisi complessa.
Io vedevo la $G(z)$ come una serie di potenze di Laurent, che converge in una corona circolare. La funzione, per essere rappresentabile con una serie di Laurent, non deve essere per forza Olomorfa?
Io vedevo la $G(z)$ come una serie di potenze di Laurent, che converge in una corona circolare. La funzione, per essere rappresentabile con una serie di Laurent, non deve essere per forza Olomorfa?
ok risolto... la serie bilatera dal quel che ricordo, e riguardando i vecchi appunti è olomorfa in una corona circolare...
l'errore commesso è aver dato per scontato che la serie convergesse, mentre per la funzione in esame (gli impulsi RRC), la serie non converge per alcun Z
l'errore commesso è aver dato per scontato che la serie convergesse, mentre per la funzione in esame (gli impulsi RRC), la serie non converge per alcun Z
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