$z^4=-1+isqrt(3)$

[pierooooo]

$z^4=-1+isqrt(3)$


$z=x+iy$
$z^4=x^4+4xyi-6y^2x^2-4xy^3i+y^4$

$(x^4-6x^2y^2+y^4)+i(4x^3y-4xy^3)=1+isqrt(3)$

$\{(x^4-6x^2y^2+y^4=1),(x^3y-xy^3=sqrt3/4):}$

ora in sostanza dovrei ricavare o x o y e sostituirlo nell'altra equazione... ma non riesco a mettere in evidenza in modo tale da dividere le x e le y completamente.

[Gatto891]

Ti stai complicando inutilmente la vita (ma proprio troppo)... scriviti l'equazione in forma esponenziale (o quantomeno trigonometrica) che si risolve facilmente

[pierooooo]

$z=pe^i\theta=p(cos\theta+isen\theta)$

$z=2(cos(5/6pi)+isen(5/6pi))$

$z^4=16(cos(5/6pi)+isen(5/6pi))^4$

$16(cos(5/6pi)+isen(5/6pi))^4=1+sqrt3$

prima che mi avventuri in calcoli inutili.... qui devo risolvere $(...)^4$ ??

[melli13]

Ma cosa stai facendo?
La forma esponenziale è $ Z=2e^(iπ/3)$
Ora elevi alla quarta e viene che $z^(4)= 4e^(i4π/3)$

[pierooooo]

si ho sbagliato l'angolo XD

ma in ogni caso il tuo non mi torna $arcontan(sqrt3/-1)+pi=2pi/3$

[melli13]

Si si scusami...mi sono sbagliata...l'angolo è come dici tu....!!

[Gatto891]

Ok ci stiamo avvicinando, ma più semplicemente:

$z = rhoe^(itheta)$
$-1+isqrt(3) = 2e^(i2/3Pi)$

Quindi la tua uguaglianza diventa $rho^4e^(i4theta) = 2e^(i2/3Pi)$ e a questo punto uguagli modulo ed argomento (ricordando la periodicità per quest'ultimo)

[pierooooo]

ah ok.
quindi a questo punto... devo trovare i valori di $rho$ e di $theta$ facendo
$rho^4=2, rho=root(4)2$
$4theta=2/3pi, theta=pi/6+2kpi$

questa è la risposta conclusiva? o va messa in qualche forma particolare?

PS: grazie a tutti, mi avete chiarito non pochi dubbi!

[gugo82]

Scusate, non per rompere le uova nel paniere, ma ci vuole proprio così tanto per calcolare le quattro radici quarte distinte di [tex]$-1+\imath\ \sqrt{3}$[/tex]?
Perchè, se non l'avete notato, è proprio quello che chiede l'esercizio...