Z-u trasformata

[snooopy1]

Buonasera! Ho qualche problema con la Z trasformata, spero mi possiate dare una mano. C'è questo passaggio che non capisco sul calcolo della Z-u trasformata:
Z $1/((n+2)!)$ = $ z^2(e^(1/z)-1-1/z) $
Allora io partirei applicando la definizione di Z-u trasformata:
$ 1/((n+2)!) $ = $\sum_{n=0}^\infty\ 1/z^n(n+2)! $
e qui mi blocco... più che altro è questo fattoriale a confondermi. vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!

[Sk_Anonymous]

\(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{z^n(n+2)!}=z^2\left(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z^{-1})^n}{n!}\right) -(z^2+z) =z^2e^{\frac{1}{z}}-z^2-z=z^2\left(e^{\frac{1}{z}}-1-\frac{1}{z}\right) \)

[snooopy1]

Ti ringrazio tantissimo,però non riesco a capire il secondo e terzo passaggio. Potresti spiegarmi ?

[Sk_Anonymous]

\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{-n}}{(n+2)!}= \frac{1}{2!} + \frac{z^{-1}}{3!}+\frac{z^{-2}}{4!}+\frac{z^{-3}}{5!}+...= z^2\left( \frac{z^{-2}}{2!}+ \frac{z^{-3}}{3!} + \frac{z^{-4}}{4!} + \frac{z^{-5}}{5!} +... \right)= \)
\(\displaystyle = z^2\left(1+\frac{z^{-1}}{1!} +\frac{z^{-2}}{2!}+ \frac{z^{-3}}{3!} + \frac{z^{-4}}{4!} + \frac{z^{-5}}{5!} +... \right)-z^2\left(1+\frac{z^{-1}}{1!}\right)= z^2e^{\frac{1}{z}}-z^2-z=z^2\left(e^{\frac{1}{z}}-1-\frac{1}{z}\right)\)
Studia un po' i vari passaggi.