Z-trasformazione, analisi complessa

[Savonarola91]

Salve ragazzi.Scrivo nel forum per comunicare alcune difficoltà che ho incontraro nell accingermi allo studio di metodi matematici ad ingegneria.Mi sono bloccato alla Z-trasformazione che ho affrontato solo da un punto di visto puramente teorico (quindi praticamente negli esercizi sono una schiappa completa) e in rete non ho trovato appunti o materiale che mi è servito per risolvere il mio problema.Premetto che non ho potuto seguire il corso non per pigrizia ma per problemi legati alla mia salute.Vi chiedo perciò di avere pazienza e di aiutarmi.
Ho enormi difficoltà con queste due tipologie dii esercizi:

1) Trovare la Zu-trasformata della seguente espressione:
$(n^2+3n)/(n+2)$
2)Z-antitrasformare la seguente espressione:
$((z-1)^2(z+1)/(z^3-8))$.

Inutile dirvi che ho letto il regolamento e sono fan di questo sito e so che dovrei proporre uno svolgimento dell esercizio, ma non so proprio da dove dovrei partire.Un grazien anticipato per la vostra pazienza e il vostro aiuto.

[gugo82]

"Savonarola91":2)Z-antitrasformare la seguente espressione:
$((z-1)^2(z+1)/(z^3-8))$

Ricorda che la successione \((a_n)\) da cui la tua funzione \(f\) proviene è data da:
\[
a_n:= \frac{1}{2\pi\ \imath} \int_\Gamma f(z)\ z^{n-1}\ \text{d} z
\]
ove \(\Gamma\) è una curva che racchiude l'origine e tutti i poli di \(f\) ed è tutta contenuta nella regione di convergenza.

***

Ochio, i conti fatti qui di seguito sono sbagliati!
Ho confuso la trasformata \(\mathcal{Z}\) con la funzione generatrice.

Chiedo venia.
Cercherò di rimediare al più presto.
Tuttavia, il principio rimane lo stesso: applica la definizione e cerca di determinare la somma della serie di potenze che ti rovi d'avanti al naso.

***

"Savonarola91":1) Trovare la Zu-trasformata della seguente espressione:
$(n^2+3n)/(n+2)$

Per definizione:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[(n^2+3n)/(n+2)](z) &:= \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2+3n}{n+2}\ z^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{n^2+3n+2}{n+2} - \frac{2}{n+2}\right)\ z^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(n+1)(n+2)}{n+2} - \frac{2}{n+2}\right)\ z^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty \left((n+1) - \frac{2}{n+2}\right)\ z^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty (n+1)\ z^n -2\ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+2}\ z^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty (n+1)\ z^n -2\ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n}\ z^{n-2}\\
&= \sum_{n=1}^\infty n\ z^{n-1} -\frac{2}{z^2}\ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n}\ z^n\\
&= \frac{\text{d}}{\text{d} z} \left[ \sum_{n=0}^\infty z^n\right] - \frac{2}{z^2}\ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n}\ z^n\\
&= \frac{\text{d}}{\text{d} z} \left[ \frac{1}{1-z}\right] +\frac{2}{z^2}\ \left( \log (1-z) + z\right)
\end{split}
\]
e da qui finisci.

Ovviamente, conoscendo le trasformate notevoli, questo esercizio si svolge più velocemente.

[MacpMinsk]

Io ho un problema con l'antitrasformata z anche avendo scomposto la seguente con hermite e conoscendo le trasformate notevoli non riesco a svolgere quest'esercizio

$ (1)/[(z^2 + z + 1)^2] $

GRAZIE IN ANTICIPO

Scrivo di seguito una mia risoluzione:

tramite la formula di hermite posso scrivere:

$ (1) / ((z+ (1/2))^2 + 3/4)^2 = 2/3 ( (1) / (z^2 +z+1) + d/dz (z+(1/2))/((z+1/2)^2 +3/4)) $

alla fine ho:

$ ((1)/( z^2+ z+ 1)) + ((-z^2 - z +1/2)/(z^2+z+1)^2) $

ed ecco che il secondo termine non so proprio come z-antitrasformarlo...

[MacpMinsk]

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