[Z trasformata] problema ai limiti, risoluzione esercizio.
Salve a tutti
Volevo un informazione relativa a questo esercizio. Ho trovato difficoltà a svolgere questo problema ai limiti con la z trasformata. Deve essere una sciocchezza, ma non la riesco a risolvere
$ Y_(n+2) + 2Y_(n+1)+5Y= 24/4 * 2^(-n) $
$ Y_0 =2 $
$ Y_1=-3/2 $
E dovrebbe venire
$ Y =(2z^2 +z/2)/(z^2+2z+5) + 6z/[(z-1/2)(z^2+2z+5) $
Non riesco ad antitrasformare queste due frazioni....mi aiutate?
Volevo un informazione relativa a questo esercizio. Ho trovato difficoltà a svolgere questo problema ai limiti con la z trasformata. Deve essere una sciocchezza, ma non la riesco a risolvere
$ Y_(n+2) + 2Y_(n+1)+5Y= 24/4 * 2^(-n) $
$ Y_0 =2 $
$ Y_1=-3/2 $
E dovrebbe venire
$ Y =(2z^2 +z/2)/(z^2+2z+5) + 6z/[(z-1/2)(z^2+2z+5) $
Non riesco ad antitrasformare queste due frazioni....mi aiutate?
Risposte
Per prima cosa riordiniamo l'espressione di Y(z)...
$ Y(z) = \frac {2\ z^{2} + \frac{z}{2}}{z^{2} + 2\ z + 5} + \frac{6\ z}{(z-\frac{1}{2})\ ( z^{2} + 2\ z + 5)} = \frac{\frac{6}{25}}{z- \frac{1}{2}} + \frac {2\ z^{2} + \frac{13}{50} z - \frac{12}{5}}{z^{2} + 2\ z + 5}$ (1)
… e quindi si applica la formula ‘standard’ di inversione della Trasformata Z...
$y_{n} = \mathcal{Z}^{-1} \{Y(z)\} = \frac{1}{2\ \pi\ i}\ \int _C Y(z)\ z^{n-1}\ d z$ (2)
... dove C e' un percorso arbitrario che contenga tutti i poli di Y(z). L'integrale (2) si risolve di norma con il metodo dei residui e si puo' iniziare antitrasformando il primo termine della (1) ...
$ \mathcal{Z}^{-1} \{ \frac{\frac{6}{25}}{z- \frac{1}{2}} \} = \frac{3}{25\ \pi\ i}\ \int_{C} \frac {z^{n-1}}{z- \frac{1}{2}}\ dz = \frac{6}{25}\ \lim_{z \rightarrow \frac{1}{2}} z^{n-1} = \frac{12}{25}\ 2^{- n}$ (3)
A questo punto la strada da seguire e' chiara per cui il calcolo del secondo termine della (1) e' lasciato a Te...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$ Y(z) = \frac {2\ z^{2} + \frac{z}{2}}{z^{2} + 2\ z + 5} + \frac{6\ z}{(z-\frac{1}{2})\ ( z^{2} + 2\ z + 5)} = \frac{\frac{6}{25}}{z- \frac{1}{2}} + \frac {2\ z^{2} + \frac{13}{50} z - \frac{12}{5}}{z^{2} + 2\ z + 5}$ (1)
… e quindi si applica la formula ‘standard’ di inversione della Trasformata Z...
$y_{n} = \mathcal{Z}^{-1} \{Y(z)\} = \frac{1}{2\ \pi\ i}\ \int _C Y(z)\ z^{n-1}\ d z$ (2)
... dove C e' un percorso arbitrario che contenga tutti i poli di Y(z). L'integrale (2) si risolve di norma con il metodo dei residui e si puo' iniziare antitrasformando il primo termine della (1) ...
$ \mathcal{Z}^{-1} \{ \frac{\frac{6}{25}}{z- \frac{1}{2}} \} = \frac{3}{25\ \pi\ i}\ \int_{C} \frac {z^{n-1}}{z- \frac{1}{2}}\ dz = \frac{6}{25}\ \lim_{z \rightarrow \frac{1}{2}} z^{n-1} = \frac{12}{25}\ 2^{- n}$ (3)
A questo punto la strada da seguire e' chiara per cui il calcolo del secondo termine della (1) e' lasciato a Te...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Ciao
Grazie per la tempestiva risposta
Ti rispondo solo ora in quanto ho notato che non mi trovo con i tuoi conti, mi trovo così
$ (12/25)/(z-1/2) - (12/25 z - 24/5)/(z^2 +2z+5) + (2z^2 - z/2)/(z^2 + 2z + 5) $
Secondo la scomposizione del secondo membro
$ 6z = A(z^2+2z+5) + (Bz + C)(z-1/2) $
E quindi
$ (2z^2 + 1/50 z + 24/5) / ( z^2 + 2z+5) + (12/25) /(z-1/2) $
Il secondo membro è facile, trovo difficoltà col primo membro anche dopo la scomposizione...
Grazie per la tempestiva risposta
Ti rispondo solo ora in quanto ho notato che non mi trovo con i tuoi conti, mi trovo così
$ (12/25)/(z-1/2) - (12/25 z - 24/5)/(z^2 +2z+5) + (2z^2 - z/2)/(z^2 + 2z + 5) $
Secondo la scomposizione del secondo membro
$ 6z = A(z^2+2z+5) + (Bz + C)(z-1/2) $
E quindi
$ (2z^2 + 1/50 z + 24/5) / ( z^2 + 2z+5) + (12/25) /(z-1/2) $
Il secondo membro è facile, trovo difficoltà col primo membro anche dopo la scomposizione...
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