$y''+y'=1/(1+e^x)$ non riesco a venirne a capo!

[franc3sc01]

Ciao a tutti.
Ho questo equazione diff. di secondo ordine
$y''+y'=1/(1+e^x)$

Calcolo l'eq. caratteristica e trovo che si annulla per $alpha=0, alpha=-1$
Allora considero una soluzione generale dell'omogenea e poi applico il metodo della variazione delle costanti.

$ y_1=e^0 $
$y_2=e^-x$
$y=c_1+c_2*e^-x$

$ c'_1*y_1+c'_2*y_2=0 $ ossia $ c'_1+c'_2*e^-x =0$
$c'_1*y_1+c'_2*y'_2=1/(1+e^x)$ ossia $-c'_2*e^-x = 1/(1+e^x)$
Risolvendo però questo sistema
${ ( c'_1+c'_2*e^-x=0 ),( -c'_2*e^-x = 1/(1+e^x) ):}$
ottengo una soluzione

$y=x-log(e^x+1)+k_2+(k_1-log(e^x+1))*e^-x$ che non è soluzione!

Infatti, ottengo che $c_2=-log(e^x+1)+k_1$ e $c'_1=1/(1+e^x) rArr c_1=x-log(e^x+1)+k_2$
Ho provato a rifarla 3 volte!
Grazie..

[theras]

Ciao!
Beh,perchè non provi a risolvere l'equazione differenziale lineare del primo ordine $t'+t=1/(1+e^x)$?
Trovarne un'integrale generale è esercizio standard,certo meno "contoso" del metodo della variazione delle costanti,
ed una volta risoltolo magari ti salta all'occhio la parentela con quella assegnata:
a quel punto intuire l'ultimo passaggio dovrebbe esserti immediato!
Saluti dal web.

[franc3sc01]

"theras":Ciao!
Beh,perchè non provi a risolvere l'equazione differenziale lineare del primo ordine $t'+t=1/(1+e^x)$?
Trovarne un'integrale generale è esercizio standard,certo meno "contoso" del metodo della variazione delle costanti,
ed una volta risoltolo magari ti salta all'occhio la parentela con quella assegnata:
a quel punto intuire l'ultimo passaggio dovrebbe esserti immediato!
Saluti dal web.

Ciao e grazie per la risposta! Ci avevo pensato pure io.. però quello che mi preme di più è sapere in cosa sbagliavo prima..

[theras]

Mah..a me non pare ci siano errori,
e non capisco da cosa deduci che quell'integrale generale è inesatto:
perchè non provi con l'altra tecnica,e poi confronti i risultati?
Magari salta fuori che il tuo "errore" è a meno d'una costante additiva o moltiplicativa,
e pertanto non è catalogabile come tale
(mica la tua soluzione deve per forza esser la copia conforme di quella che vedi scritta sul testo..)!
Saluti dal web.

[franc3sc01]

"theras":Mah..a me non pare ci siano errori,
e non capisco da cosa deduci che quell'integrale generale è inesatto:
perchè non provi con l'altra tecnica,e poi confronti i risultati?
Magari salta fuori che il tuo "errore" è a meno d'una costante additiva o moltiplicativa,
e pertanto non è catalogabile come tale
(mica la tua soluzione deve per forza esser la copia conforme di quella che vedi scritta sul testo..)!
Saluti dal web.

Wolframalpha mi dava una soluzione non semplificata come la mia Ho controllato e la soluzione è giusta.

Invece per quest'equazione?

$y'+y/(2e^x-1)=x^2$

ho calcolato $A(x)=int 1/(2e^x-1)dx = log(|2e^x-1|/e^x) + k$
Come discuto il valore assoluto? Non ho condizioni iniziali.. Faccio due discussioni di soluzioni per $2e^x-1>0$ e per $2e^x-1<0$ e ottengo due funzioni che valgono in due intervalli diversi?