$y(x)=y_(om)(x)+bary(x)$
Mi interessa sapere cosa pensate di questa dimostrazione.
Un'ODE lineare di ordine $n$ si può scrivere come
$y^((n))(x)+a_(n-1)(x)y^((n-1))(x)+ldots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=g(x)$.
L'ODE omogenea ad essa associata è
$y^((n))(x)+a_(n-1)(x)y^((n-1))(x)+ldots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=0$.
Sia $L:C^(n-1) to C^(n-1)$ l'applicazione lineare tale che
$L(y^(n),ldots,y)=y^((n))(x)+a_(n-1)(x)y^((n-1))(x)+ldots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)$,
e siano $S$ l'insieme delle soluzioni dell'ODE completa, $S_0$ lo spazio delle soluzioni dell'ODE omogenea.
Se $bar(y)_1(x)$ e $bar(y)_2(x)$ sono due elementi qualsiasi di $S$, da $L(bary_1)=g(x)$ e da $L(bary_2)=g(x)$
segue $L(bary_2)-L(bary_1)=L(bary_2-bary_1)=0$, pertanto il vettore $bary_2-bary_1$ è un vettore di $mbox(Ker) L=S_0$.
Viceversa, per ogni elemento $y_(om)(x)$ di $S_0$ e per ogni $bary(x)$ di $S$, si ha $L(bary+y_(om))=L(bary)+L(y_(om))=g(x)$,
quindi $bary+y_(om)$ appartiene a $S$. Da qui il risultato:
L'integrale generale di un'ODE lineare completa si ottiene sommando all'integrale generale dell'equazione
omogenea associata un integrale particolare dell'equazione completa. In formule: $y(x)=y_(om)(x)+bary(x)$.
Grazie dell'attenzione.
Un'ODE lineare di ordine $n$ si può scrivere come
$y^((n))(x)+a_(n-1)(x)y^((n-1))(x)+ldots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=g(x)$.
L'ODE omogenea ad essa associata è
$y^((n))(x)+a_(n-1)(x)y^((n-1))(x)+ldots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=0$.
Sia $L:C^(n-1) to C^(n-1)$ l'applicazione lineare tale che
$L(y^(n),ldots,y)=y^((n))(x)+a_(n-1)(x)y^((n-1))(x)+ldots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)$,
e siano $S$ l'insieme delle soluzioni dell'ODE completa, $S_0$ lo spazio delle soluzioni dell'ODE omogenea.
Se $bar(y)_1(x)$ e $bar(y)_2(x)$ sono due elementi qualsiasi di $S$, da $L(bary_1)=g(x)$ e da $L(bary_2)=g(x)$
segue $L(bary_2)-L(bary_1)=L(bary_2-bary_1)=0$, pertanto il vettore $bary_2-bary_1$ è un vettore di $mbox(Ker) L=S_0$.
Viceversa, per ogni elemento $y_(om)(x)$ di $S_0$ e per ogni $bary(x)$ di $S$, si ha $L(bary+y_(om))=L(bary)+L(y_(om))=g(x)$,
quindi $bary+y_(om)$ appartiene a $S$. Da qui il risultato:
L'integrale generale di un'ODE lineare completa si ottiene sommando all'integrale generale dell'equazione
omogenea associata un integrale particolare dell'equazione completa. In formule: $y(x)=y_(om)(x)+bary(x)$.
Grazie dell'attenzione.
Risposte
questo è valido per qualunque problema lineare di incognita x
Y(x)=xo
dove Y è un'applicazione lineare da uno spazio vettoriale V in un altro spazio vettoriale W, e xo è un elemento di W: le soluzioni si ottengono sommando allo spazio delle soluzioni dell'omogenea, che si ottiene ponendo xo=0, una soluzione particolare. la dimostrazione è quella che hai dato nel caso particolare di un ODE.
Y(x)=xo
dove Y è un'applicazione lineare da uno spazio vettoriale V in un altro spazio vettoriale W, e xo è un elemento di W: le soluzioni si ottengono sommando allo spazio delle soluzioni dell'omogenea, che si ottiene ponendo xo=0, una soluzione particolare. la dimostrazione è quella che hai dato nel caso particolare di un ODE.
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