Y=xarctgx - studio di funzione

[l0r3nzo1]

Salve, vorrei sapere se è giusto lo studio di funzione che ho fatto fino ad ora, e poi come come proseguire, visto che mi sono bloccato ad un certo punto.

Dunque.

$y=|x|arctgx$

1) Dominio: la funzione è definita su tutto R e risulta essere continua in R perchè prodottodi funzioni continue.
2) è una funzione dispari quindi è sufficiente studiarla per x>0
3) incontra gli assi solo nel punto (0,0)
4) Per quanto riguarda il segno della funzione è positiva da x>0 e negativa da x<0.
5) Limiti:
$lim_(x->+infty) (y=xarctgx) = +infty$
$lim_(x->-infty) (y=xarctgx) = - infty$
Visti i limiti tendenti ad inifinto ricerco gli asintoti obliqui:
$lim_(x->+infty) y=(xarctgx)/x = \pi/2 $
$lim_(x->+infty) y=(xarctgx) -\pi/2x= -1$
quindi la retta dell'asintoto obliquo è definita per ==> $y=\pi/2x-1$

6) derivata prima: $y'=arctgx + (-x/(1+x^2))$
7) pongo la y'>0 ==> $arctgx + (-x/(1+x^2))>0$
solo che a questo punto mi blocco perché non riesco a capire come fare per procedere....

qualcuno mi può dare qualche consiglio?

grazie

[itpareid]

secondo me ci sono diversi errori.
in particolare:
2) come fai a dire che è dispari? devi dimostrarlo! (infatti poi vedi che è pari...)
4) no
5) sbagliato il limite per $x \to -\infty$

[l0r3nzo1]

"itpareid":secondo me ci sono diversi errori.
in particolare:
2) come fai a dire che è dispari? devi dimostrarlo! (infatti poi vedi che è pari...)
4) no
5) sbagliato il limite per $x \to -\infty$

Mi sono dimenticato un particolare non indifferente!!!

y= |x|arctgx.

1) considerando il valore assoluto torna dispari perchè f(-x) = |-x|arctg-x = |x|(-arctgx)= -|x|arctgx.
4) anche in questo caso ritengo che sia corretto visto e considerato che facendo il grafico con derive torna con quanto dico.
5) perchè sarebbe sbagliato? ho fatto i conti manualmente, e successivamente anche con derive per conferma e torna -∞. la funzione poi va a -∞

il valore assoluto, non messo, ha sballato tutto! chiedo assolutamente perdono!

[l0r3nzo1]

ho corretto il primo post con il valore assoluto...

[ReDavide]

sei sicuro della derivata prima? perchè con il valore assoluto a rigore viene $ y'(x) = sgn(x)arctg(x) + |x|/(1+x^2) $ che è sempre positiva

edit: hai sbagliato solo il segno del secondo addendo della derivata

[l0r3nzo1]

"ReDavide":sei sicuro della derivata prima? perchè con il valore assoluto a rigore viene $ y'(x) = sgn(x)arctg(x) + |x|/(1+x^2) $ che è sempre positiva

edit: hai sbagliato solo il segno del secondo addendo della derivata

grazie! non l'avevo proprio visto!

ma a questo punto mi blocco perchè ponendo la derivata >0 non riesco a capire come risolvera...

[ReDavide]

non devi risolvere niente, è sempre positiva è sempre crescente quella funzione (come ci si può aspettare avendo un asintoto obliquo con inclinazione positiva)

[l0r3nzo1]

non è sempre positiva... da x<0 è negativa, mentre è positiva per x>0...

[ReDavide]

riporto ciò che hai scritto nel primo post

"l0r3nzo":
2) è una funzione dispari quindi è sufficiente studiarla per x>0

se per x>0 viene sempre crescente per x<0 come sarà?

(nb: $ sgn(x)*arctg(x) >= 0 AA x in RR $ )

[l0r3nzo1]

"ReDavide":riporto ciò che hai scritto nel primo post

[quote="l0r3nzo"]
2) è una funzione dispari quindi è sufficiente studiarla per x>0

se per x>0 viene sempre crescente per x<0 come sarà?

(nb: $ sgn(x)*arctg(x) >= 0 AA x in RR $ )[/quote]

ok, non pensavo a quello, scusa.
studiarla x>0 si perchè è dispari e quindi si studia per x>0 però la funzione, ovviamente, è anche negativa. non vorrei che se qualcuno rilegge questi post in futuro si confonda le idee