$y''=f(x,y)*(y')^3+g(x,y)*(y')^2+h(x,y)*(y')+l(x,y)$

[gabriele812]

ciao qualcuno potrebbe indicarmi come è denominata e come si risolvere (o almeno darmi una indicazione bibliografica) la seguenteclasse di equazione differenziali.
$y''=f(x,y)*(y')^3+g(x,y)*(y')^2+h(x,y)*(y')+l(x,y)$
grazie

[gugo82]

Si tratta di una EDO (molto)nonlineare del secondo ordine, ma non credo che abbia un nome specifico.

Ovviamente, levati dalla testa di risolvere esplicitamente quell'equazione lì.
Anzi, da dove esce fuori una cosa simile? Qualche problema ingegneristico?


P.S.: Per riferimenti vari ed eventuali, puoi consultare il Polyanin & Zaitsev, Handbook of exact solutions for ordinary differential equations - second edition (2003), CRC Press.

[ciampax]

Oppure la versione "on-line": http://eqworld.ipmnet.ru/index.htm

[gabriele812]

grazie mille delle vostre risposte.
Ho consultato il libro di Polyanin & Zaitsev ed ho trovato un riferimento al paragrafo 2.9.3. ora andrò a leggerlo con più attenzione.
La formula è in realtà una equazione di Eulero-lagrange per una ricerca in campo economico.
Quindi quando ci si trova di fronte ad un mostro del genere cosa si fa? il mio studio è di tipo teorico dunque avrei bisogno di un risultato analitico e non numerico. Tuttavia ho letto che mediante approssimazione per espansione in serie di taylor possiamo giungere alla definizione in termini analitici di un risultato approssimato attorno alla una condizione iniziale al problema ma come potrei controllare il grado di approssimazione?
Ogni ulteriore consiglio su come risolverla è bene accetta!

[gugo82]

"gabriele81":grazie mille delle vostre risposte.
Ho consultato il libro di Polyanin & Zaitsev ed ho trovato un riferimento al paragrafo 2.9.3. ora andrò a leggerlo con più attenzione.
La formula è in realtà una equazione di Eulero-lagrange per una ricerca in campo economico.
Quindi quando ci si trova di fronte ad un mostro del genere cosa si fa?

Si studia il problema in sé, casomai coinvolgendo un analista... Il quale ti dirà che, in generale, senza conoscere le condizioni (iniziali, al bordo o di altro tipo) accoppiate alla EDO e le proprietà dei coefficienti non si va da nessuna parte.

"gabriele81":il mio studio è di tipo teorico dunque avrei bisogno di un risultato analitico e non numerico.

Quindi, se capisco bene, vuoi quantomeno un teorema di esistenza della soluzione.
Per fare ciò, se l'equazione non si può ricondurre ad una EDO nota con uno dei trucchi del Polyanin, è necessario conoscere le due cose che ho citato prima: le proprietà dei coefficienti e le condizioni accoppiate alla EDO.

"gabriele81":Tuttavia ho letto che mediante approssimazione per espansione in serie di taylor possiamo giungere alla definizione in termini analitici di un risultato approssimato attorno alla una condizione iniziale al problema ma come potrei controllare il grado di approssimazione?

Quello che citi si chiama, usualmente, metodo di Frobenius. Esso si può usare, con le dovute cautele ed un alto grado di pazienza (perché comporta una grossa mole di contazzi), se i coefficienti della EDO sono analitici (cioé sviluppabili in serie di potenze) intorno ad un punto iniziale, poiché in questo caso uno si aspetta che la EDO abbia soluzioni pure analitiche.
Tale metodo produce, in generale, soluzioni locali che poi dovrai prolungare in qualche modo.