$y''+6y'+9y=9x+3$ (da controllare lo svolgimento)

[kily2001]

ciao a tutti ! Ho questa equazione di 2^ ordine:

$y''+6y'+9y=9x+3

una soluzione per l'omogenea associata è $Ae^(-3x) + Bxe^(-3x)
metto a sistema le equazioni:

${(A'e^(-3x) + B'xe^(-3x)=0),(-3A'e^(-3x) -3B'xe^(-3x) + B'e^(-3x)=9x+3):}

il determinante della matrice del sistema è $e^(-6x)$ perciò:

$A'= (((0,xe^(-3x)),(9x+3, e^(-3x)(1-3x))))/e^(-6x) = -(9x+3)xe^(3x)
$B'= (((e^(-3x),0),(-3e^(-3x),9x+3)))/e^(-6x) = (9x+3)e^(3x)

$ A=int A' dx = -int(9x+3)xe^(3x) dx = e^(3x)(1/3x^2-11/9x-2/9) + C1
$B=int B' dx = int (9x+3)e^(3x)dx= e^(3x)(3x-2) + C2

soluzione:
$e^(-3x)[e^(3x)(1/3x^2-11/9x-2/9) + C1] +xe^(-3x)[e^(3x)(3x-2) + C2]
$=10/3x^2-19/9x-2/9 + e^(-3x)(C1+C2)

ditemi che (almeno) il procedimento è giusto!?

grazie mille !!!

[ing.mecc1]

ciao, questa è un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del secondo ordine nn omogenea,e il termine noto[f(x)=e^{λx}p_{m}(x)]
in questo caso il tuo lambda è uguale a zero
essendo P(λ)≠0
il tuo integrale particolare sarà:
e^{λx}q_{m}(x)
con "q" polinomio di grado m che è lo stesso di "p"
per cui:
v⁰(x)=ax+b
v′=a
v′′=0

sostituendo si ha:
6a+9ax+9b=9x+3
e per il principio di identità dei polinomi
a=1
b=-1/3

per cui
y(x)=c₁e^{-3x}+c₂xe^{-3x}+x-(1/3)