Y''-y=$e^x+x$

[gabyaki881]

salve...oggi mi sono imbattuto in questa equazione differenziale y''-y=$e^x+x$ ....mi perdo nel trovare la soluzione generale...abbozzo il ragionamento, parto con l'eq caratteristica omogenea associata $k^2-1=0$ e quindi K1=-1 e k2=1 , cioè y=$c1e^(-x)+c2e^x$ ...ora se guardo ad $e^x+x$ non capisco come procedere perchè se è vero che sono nel caso dell'esponenziale e quindi alfa=1 come una delle radici dell'eq caratteristica omogenea associata, dovrei scrivere q(x)=$xBe^x$ ...ma il mio problema è in quel "+x"...non so come fare...chi mi da qualche suggerimento???

[Summerwind78]

Ciao

ti suggerisco di usare il principio di sovrapposizione

siccome la parte non omogenea è data dalla somma di due termini, ti conviene trattarli separatamente

prima ricavi l'integrale particolare dato solo da [tex]e^{x}[/tex] e lo chiami per esempio [tex]y_{P_{1}}[/tex]

poi ricavi l'integrale particolare dato solo da [tex]x[/tex] e lo chiami per esempio [tex]y_{P_{2}}[/tex]

il tuo integrale particolare vero e proprio è [tex]y_{P}=y_{P_{1}}+y_{P_{2}}[/tex]

[Lorin1]

La soluzione particolare della completa dovrebbe essere della forma $y_p(x)=axe^x+bx+c$, in quanto $e^x$ è presente una volta nella soluzione dell'omogenea.

[Camillo]

@ Lorin : perchè dici che la soluzione particolare $y_p= ax+b $ ? manca la parte $Axe^x$ da aggiungere .

Vedo che hai già sistemato

[Lorin1]

si si hai ragione...ho editato appena ho riletto il mess...^^

[gabyaki881]

allora ho seguito il consiglio si summerwind78... quindi prima studio il caso di $e^x$ , cioè mi viene una soluzione particolare del tipo q(x)=$1/2xe^x$ ....poi studio il caso x cioè di un polinomio di primo grado e quindi trovo una soluzione particolare del tipo q(x)= -x ... perciò per il principio do sovrapposizione la soluzione generale dell'equazione è y=$1/2xe^x -x +c1e^-x+c2e^x$ ....spero di aver fatto bene

[gabyaki881]

aggiungo un altro quesito...la soluzione che ho trovato può annullarsi ? io penso che se contemporaneamente sono soddisfatte le condizioni che c1=c2=0 e x=0 si...o anche c1=-c2 o viceversa e x=0 mo che ci penso

[Quinzio]

"gabyaki88":allora ho seguito il consiglio si summerwind78... quindi prima studio il caso di $e^x$ , cioè mi viene una soluzione particolare del tipo y=$1/2xe^x$ ....poi studio il caso x cioè di un polinomio di primo grado e quindi trovo una soluzione particolare del tipo y= -x ... perciò per il principio do sovrapposizione la soluzione generale dell'equazione è y=$1/2xe^x -x +c1e^-x+c2e^x$ ....spero di aver fatto bene

Prego ? $y = -x$ è una soluzione ?
Ma hai compreso cos'è una equazione differenziale ?