Y''

[rico]

Ciao, ho un dubbio..
ho provato a studiare la funzione:
$y=e^(-x/(x^2+1))$ ho calcolato
$y'=e^(-x/(x^2+1))*((x^2-1)/(x^2+1)^2)$
$y''=e^(-x/(x^2+1))*((x^4-2x^3+2x^2+6x+1)/(x^2+1)^3)$ e giusta?
non so come studiare il polinomio a numeratore della della y''...
ciao!

[_nicola de rosa]

"richard84":Ciao, ho un dubbio..
ho provato a studiare la funzione:
$y=e^(-x/(x^2+1))$ ho calcolato
$y'=e^(-x/(x^2+1)*((x^2-1)/(x^2+1)^2)$
$y''=e^(-x/(x^2+1))*((x^4-2x^3+2x^2+6x+1)/(x^2+1)^3)$ e giusta?
non so come studiare il polinomio a numeratore della della y''...
ciao!

$y=e^(-x/(x^2+1))$
$y'=e^(-x/(x^2+1))*((x^2-1)/(x^2+1)^2)$
$y''=(d((x^2-1)/(x^2+1)^2))/dx*e^(-x/(x^2+1))+((x^2-1)/(x^2+1)^2)+(de^(-x/(x^2+1)))/dx$=
$(2x(3-x^2))/((x^2+1)^3)*e^(-x/(x^2+1))+((x^2-1)^2/(x^2+1)^4)*e^(-x/(x^2+1))$=
$e^(-x/(x^2+1))*[(2x(3-x^2))/((x^2+1)^3)+((x^2-1)^2/(x^2+1)^4)]$=
$e^(-x/(x^2+1))*(2x(3-x^2)(x^2+1)+(x^2-1)^2)/((x^2+1)^4)$
Ora $(2x(3-x^2)(x^2+1)+(x^2-1)^2)/((x^2+1)^4)=(-2x^5+x^4+4x^3-2x^2+6x+1)/((x^2+1)^4)$
In particolare, metodi numerici evidenziano che $(-2x^5+x^4+4x^3-2x^2+6x+1)$ presenta tre radici reali e 2 complesse. Le radici reali sono
$x_1=-1.65928$, $x_2=-0.156133$, $x_3=1.82926$.
Inoltre $(-2x^5+x^4+4x^3-2x^2+6x+1)>0$ $<=>$ $x<-1.65928$ U $-0.156133 Cioè la tua funzione presenterà un massimo relativo in $(-1,e^(1/2))$, un minimo in $(1, e^(-1/2))$ e tre flessi in $x=x_1$, $x=x_2$, $x=x_3$

[rico]

ok, il procedimento utilizzato per arrivare al mio risultato e stato quello da te suggerito...nn so solo se ho sbagliato qualche passaggino algebrico. M interessa di piu studiare il polinomio che compare a numeratore...

[rico]

grazie... ma quest ultimo risultato in un esame di Analisi1 posso evitare di riportarlo vero?

[_nicola de rosa]

"richard84":grazie... ma quest ultimo risultato in un esame di Analisi1 posso evitare di riportarlo vero?

In questo caso per ricavarti i flessi avresti dovuto applicare dei metodi numerici, che però ovviamente farebbero perdere tempo prezioso in un esame di analisi. Però è importante semmai dire che ci si aspettano dei flessi, visto che
1) la funzione cresce per $x<-1$ U $x>1$ e decresce per $-1 2)non presenta asintoti verticali
3) deve passare per il punto $(0,1)$
4) presenta come asintoto orizzontale $y=1$

Queste 4 informazioni intuitivamente ti fanno pensare che avresti bisogno di tre flessi affinchè siano soddisfatte.