$(x+y)y'=y$
Qualcuno può darmi un indizio su come svolgere questa equazione? Non riesco a ricondurla a nessuna forma base.
Risposte
Ti scrivo quello che mi è venuto in mente, ma è un po' improvvisato e non so se funziona...
L'idea è di far scomparire la $x$ isolandola e derivando tutto:
$x+y=y/(y') \Rightarrow 1+y'=((y')^2-y*y'')/(y')^2 \Rightarrow (y')^3=-y*y''$
Questo non è del tutto lecito perché sto assumendo che $y' \ne 0$ e che $y''$ esista, ma per ora faccio finta di niente
$(y')/y=-(y'')/(y')^2 \Rightarrow ln|y|+A=1/(y')$: quest'ultima si risolve separando le variabili e diventa $x=y*ln|By|+C$.
Adesso bisognerebbe sostituire nell'equazione di partenza per vedere se è effettivamente una soluzione: sempre assumendo $y' \ne 0$ conviene riscriverla in modo da ottenere un'equazione per la funzione inversa, e dovrebbe venire $x(y)+y=y*x'(y)$, da cui $C=0$.
L'idea è di far scomparire la $x$ isolandola e derivando tutto:
$x+y=y/(y') \Rightarrow 1+y'=((y')^2-y*y'')/(y')^2 \Rightarrow (y')^3=-y*y''$
Questo non è del tutto lecito perché sto assumendo che $y' \ne 0$ e che $y''$ esista, ma per ora faccio finta di niente
$(y')/y=-(y'')/(y')^2 \Rightarrow ln|y|+A=1/(y')$: quest'ultima si risolve separando le variabili e diventa $x=y*ln|By|+C$.
Adesso bisognerebbe sostituire nell'equazione di partenza per vedere se è effettivamente una soluzione: sempre assumendo $y' \ne 0$ conviene riscriverla in modo da ottenere un'equazione per la funzione inversa, e dovrebbe venire $x(y)+y=y*x'(y)$, da cui $C=0$.
Grazie per la risposta spugna!
Onestamente non avevo mai visto un procedimento del genere (nel senso di derivare la funzione rispetto ad $x$), e questo né a lezione né con gli esercizi fatti finora delle prove d'esame. Bene o male erano tutte funzioni riconducibili a bernoulliane, omogenee del primo e secondo ordine, o da risolvere per sostituzione tramite $y=xz$ (vedi $y(x)=(x-y(x))/(x+y(x))$), quindi non saprei se e quando usare questo metodo che mi hai indicato tu.
In ogni caso, per completezza:
- l'equazione differenziale rimanda ad un problema di Cauchy con $y(1)=1$
- Alla fine dell'esercizio c'è una NOTA: "la soluzione darà $y(x)$ in forma implicita". Non so se può servire...
Onestamente non avevo mai visto un procedimento del genere (nel senso di derivare la funzione rispetto ad $x$), e questo né a lezione né con gli esercizi fatti finora delle prove d'esame. Bene o male erano tutte funzioni riconducibili a bernoulliane, omogenee del primo e secondo ordine, o da risolvere per sostituzione tramite $y=xz$ (vedi $y(x)=(x-y(x))/(x+y(x))$), quindi non saprei se e quando usare questo metodo che mi hai indicato tu.
In ogni caso, per completezza:
- l'equazione differenziale rimanda ad un problema di Cauchy con $y(1)=1$
- Alla fine dell'esercizio c'è una NOTA: "la soluzione darà $y(x)$ in forma implicita". Non so se può servire...
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