$X^\star$ è uno spazio di Banach
Leggo sul Brezis che se $X$ è uno spazio vettoriale normato, allora $X^\star$ - cioè l'insieme dei funzionali lineari continui - è uno spazio completo rispetto alla norma duale e, quindi, è uno spazio di Banach (da notare che nelle ipotesi non c'è la completezza di $X$).
Ho intenzione di dimostrare questo fatto (sul libro la dimostrazione non c'è).
Allora, la norma duale di un funzionale è definita come il sup del modulo sulla palla di raggio 1: $||f||_\star="sup"_{||x||<=1} |f(x)| $ (tra l'altro mi piacerebbe capire da dove salti fuori... il Brezis la dà semplicemente come definizione).
Ad ogni modo, prendiamo una successione ${f_n} \subset X^\star$ che sia di Cauchy, cioè $forall varepsilon > 0$, $exists n_0 in NN$ tale che se $n,m>n_0$ allora $||f_n-f_m||_{\star}
Giocando banalmente con la definizione di sup si ottiene che per ogni $x \in X$ con $||x||<=1$ vale $|f_n(x)-f_m(x)|<=||f_n-f_m||_{\star}
Ora restano due problemi: immagino di dover dimostrare che $f$ è continua, giusto? Ma soprattutto, la cosa che mi disturba di più è: tutto quello che ho dimostrato finora (anche la linearità) vale solo per $||x||<=1$, no? Come generalizzo la cosa a tutti gli elementi di X?
Grazie.
Ho intenzione di dimostrare questo fatto (sul libro la dimostrazione non c'è).
Allora, la norma duale di un funzionale è definita come il sup del modulo sulla palla di raggio 1: $||f||_\star="sup"_{||x||<=1} |f(x)| $ (tra l'altro mi piacerebbe capire da dove salti fuori... il Brezis la dà semplicemente come definizione).
Ad ogni modo, prendiamo una successione ${f_n} \subset X^\star$ che sia di Cauchy, cioè $forall varepsilon > 0$, $exists n_0 in NN$ tale che se $n,m>n_0$ allora $||f_n-f_m||_{\star}
Giocando banalmente con la definizione di sup si ottiene che per ogni $x \in X$ con $||x||<=1$ vale $|f_n(x)-f_m(x)|<=||f_n-f_m||_{\star}
Ora restano due problemi: immagino di dover dimostrare che $f$ è continua, giusto? Ma soprattutto, la cosa che mi disturba di più è: tutto quello che ho dimostrato finora (anche la linearità) vale solo per $||x||<=1$, no? Come generalizzo la cosa a tutti gli elementi di X?
Grazie.
Risposte
La "cosa che ti disturba di più" ( 
) è in realtà una bolla di sapone: invece di prendere \(\lVert x \rVert \le 1\) prendi un \(x\) generico e usa la disuguaglianza
\[\lvert f_n(x)-f_m(x) \rvert \le \lVert x \rVert \lVert f_n-f_m\rVert_\star,\]
procedendo esattamente come prima. Riguardo la big picture, invece: queste dimostrazioni di completezza in fondo si somigliano tutte. In ognuna si ha una successione di Cauchy rispetto ad una certa norma "di alto livello" e si vuole dimostrare che essa converge. Per fare questo, la prima cosa da fare è trovare un elemento dello spazio candidato ad essere il limite richiesto, dopodiché occorrerà mostrare che la successione di Cauchy effettivamente converge al candidato limite.
Tu hai iniziato questo processo costruendo \(f(x)=\lim_{n}f_n(x)\). Il prossimo passo è mostrare che questa \(f\) è effettivamente in \(X^\star\): ancora non si è capito perché essa dovrebbe essere continua. Infine dovrai dimostrare che la successione data converge a questa \(f\) rispetto alla norma di \(X^\star\), non solo nel senso più debole (puntuale) che hai introdotto.
) è in realtà una bolla di sapone: invece di prendere \(\lVert x \rVert \le 1\) prendi un \(x\) generico e usa la disuguaglianza \[\lvert f_n(x)-f_m(x) \rvert \le \lVert x \rVert \lVert f_n-f_m\rVert_\star,\]
procedendo esattamente come prima. Riguardo la big picture, invece: queste dimostrazioni di completezza in fondo si somigliano tutte. In ognuna si ha una successione di Cauchy rispetto ad una certa norma "di alto livello" e si vuole dimostrare che essa converge. Per fare questo, la prima cosa da fare è trovare un elemento dello spazio candidato ad essere il limite richiesto, dopodiché occorrerà mostrare che la successione di Cauchy effettivamente converge al candidato limite.
Tu hai iniziato questo processo costruendo \(f(x)=\lim_{n}f_n(x)\). Il prossimo passo è mostrare che questa \(f\) è effettivamente in \(X^\star\): ancora non si è capito perché essa dovrebbe essere continua. Infine dovrai dimostrare che la successione data converge a questa \(f\) rispetto alla norma di \(X^\star\), non solo nel senso più debole (puntuale) che hai introdotto.
Beh, più in generale è vero che:
Dato un insieme $X$ e uno spazio vettoriale $Y$, posso costruire lo spazio vettoriale (sul campo su cui è $Y$)
$A:={f:X->Y}$
Supponiamo che $X$ e $Y$ siano spazi vettoriali normati: possiamo munire $A$ di una norma, fatta come dici tu, e scartiamo quelli non limitati.
Se $Y$ è completo allora lo sarà anche $A$.
In particolare i Reali sono completi...
Dato un insieme $X$ e uno spazio vettoriale $Y$, posso costruire lo spazio vettoriale (sul campo su cui è $Y$)
$A:={f:X->Y}$
Supponiamo che $X$ e $Y$ siano spazi vettoriali normati: possiamo munire $A$ di una norma, fatta come dici tu, e scartiamo quelli non limitati.
Se $Y$ è completo allora lo sarà anche $A$.
In particolare i Reali sono completi...
Grazie, ragazzi.
Eh già, devo ancora prendere un po' di manualità con questi trucchetti del mestiere. Dimmi se ho capito: preso $x \in X$, si ha $x=||x||v$ per un opportuno $v in X$ (non ci va una scienza a capire che $v=x/(||x||)$ che è un versore
). Quindi, $|f_{n}(x)-f_{m}(x)|=||x|| |f_{n}(v)-f_{m}(v)| <= ||x|| ||f_n-f_m||_{\star}$ semplicemente per linearità delle $f_{n}$ e per definizione di norma duale. Ok?
Capisco. E' che sono all'inizio e non ho ancora dimestichezza, l'unica dimostrazione di completezza che ho studiato è quella di $RR$ (nel caro vecchio analisi I
).
Comunque, direi che la continuità delle funzione limite è, in ultima analisi, una conseguenza di un noto teorema sulla convergenza uniforme, no? Stavo pensando: se io dimostro che le $f_{n}$ (che sono continue) convergono in quella norma a $f(x)$ allora posso concludere che $f$ è continua, proprio come si faceva in $RR$ con le successioni di funzioni convergenti uniformemente convergenti. Dovrei comunque dimostrare questa cosa.
Per il resto, mi sto impappinando alla grande: voglio dimostrare che $"sup"_{||x||<=1}|f(x)-f_{n}(x)|\to 0$ per $n \to \infty$: per fare questo, pensavo di giocare come al solito sulla disuguaglianza triangolare: fissato $epsilon>0$, so che esiste $n_{0}$ per cui $||f_{n}-f_{m}||_{star}n_{0}$.
Allora, $|f(x)-f_{n}(x)|<=|f(x)-f_{m}(x)|+|f_{m}(x)-f_{n}(x)|$. A patto di prendere $m,n>n_0$, ho $|f(x)-f_{n}(x)|<=|f(x)-f_{m}(x)|+|f_{m}(x)-f_{n}(x)|<=|f(x)-f_{m}(x)|+||x|| ||f_{m}-f_{n}||_{star}$.
Ora che faccio? Mamma mia, che confusione che ho. Devo rivedere tutto per bene da capo, sono davvero confuso.
@ Gaal: grazie. Avevo intuito che le cose funzionassero grazie alla completezza di $RR$, ma non avevo pensato a generalizzarlo in questo modo.
Vi ringrazio per l'aiuto
"dissonance":
La "cosa che ti disturba di più" (
\[\lvert f_n(x)-f_m(x) \rvert \le \lVert x \rVert \lVert f_n-f_m\rVert_\star,\]
procedendo esattamente come prima.
Eh già, devo ancora prendere un po' di manualità con questi trucchetti del mestiere. Dimmi se ho capito: preso $x \in X$, si ha $x=||x||v$ per un opportuno $v in X$ (non ci va una scienza a capire che $v=x/(||x||)$ che è un versore
). Quindi, $|f_{n}(x)-f_{m}(x)|=||x|| |f_{n}(v)-f_{m}(v)| <= ||x|| ||f_n-f_m||_{\star}$ semplicemente per linearità delle $f_{n}$ e per definizione di norma duale. Ok? "dissonance":
Riguardo la big picture, invece: queste dimostrazioni di completezza in fondo si somigliano tutte. In ognuna si ha una successione di Cauchy rispetto ad una certa norma "di alto livello" e si vuole dimostrare che essa converge. Per fare questo, la prima cosa da fare è trovare un elemento dello spazio candidato ad essere il limite richiesto, dopodiché occorrerà mostrare che la successione di Cauchy effettivamente converge al candidato limite.
Tu hai iniziato questo processo costruendo \(f(x)=\lim_{n}f_n(x)\). Il prossimo passo è mostrare che questa \(f\) è effettivamente in \(X^\star\): ancora non si è capito perché essa dovrebbe essere continua. Infine dovrai dimostrare che la successione data converge a questa \(f\) rispetto alla norma di \(X^\star\), non solo nel senso più debole (puntuale) che hai introdotto.
Capisco. E' che sono all'inizio e non ho ancora dimestichezza, l'unica dimostrazione di completezza che ho studiato è quella di $RR$ (nel caro vecchio analisi I
). Comunque, direi che la continuità delle funzione limite è, in ultima analisi, una conseguenza di un noto teorema sulla convergenza uniforme, no? Stavo pensando: se io dimostro che le $f_{n}$ (che sono continue) convergono in quella norma a $f(x)$ allora posso concludere che $f$ è continua, proprio come si faceva in $RR$ con le successioni di funzioni convergenti uniformemente convergenti. Dovrei comunque dimostrare questa cosa.
Per il resto, mi sto impappinando alla grande: voglio dimostrare che $"sup"_{||x||<=1}|f(x)-f_{n}(x)|\to 0$ per $n \to \infty$: per fare questo, pensavo di giocare come al solito sulla disuguaglianza triangolare: fissato $epsilon>0$, so che esiste $n_{0}$ per cui $||f_{n}-f_{m}||_{star}
Allora, $|f(x)-f_{n}(x)|<=|f(x)-f_{m}(x)|+|f_{m}(x)-f_{n}(x)|$. A patto di prendere $m,n>n_0$, ho $|f(x)-f_{n}(x)|<=|f(x)-f_{m}(x)|+|f_{m}(x)-f_{n}(x)|<=|f(x)-f_{m}(x)|+||x|| ||f_{m}-f_{n}||_{star}$.
Ora che faccio? Mamma mia, che confusione che ho. Devo rivedere tutto per bene da capo, sono davvero confuso.
@ Gaal: grazie. Avevo intuito che le cose funzionassero grazie alla completezza di $RR$, ma non avevo pensato a generalizzarlo in questo modo.
Vi ringrazio per l'aiuto
Facciamo così: dividiamo il post in due. Prima dimostriamo il teorema e poi facciamo qualche commento.
Dimostrazione del teorema
Qui hai già fatto tutto tu. Resta solo da osservare che a destra dell'ultima disuguaglianza hai una \(m\) che puoi prendere grande quanto vuoi e che è indipendente da \(n\). Siccome \((f_k(x))_{k \in \mathbb{N}}\) converge (è una successione numerica), puoi prendere questa \(m\) talmente grande da rendere piccina la differenza \(\lvert f(x)-f_m(x)\rvert\). Nel frattempo l'altro addendo a destra se ne sta buono per via della condizione di Cauchy. In conclusione ottieni che per \(n \ge n_0\) e \(\lVert x \rVert \le 1\) è
\[\lvert f(x)-f_n(x)\rvert \le 2\varepsilon.\]
E quindi hai finito.
Dimostrazione del teorema
Qui hai già fatto tutto tu. Resta solo da osservare che a destra dell'ultima disuguaglianza hai una \(m\) che puoi prendere grande quanto vuoi e che è indipendente da \(n\). Siccome \((f_k(x))_{k \in \mathbb{N}}\) converge (è una successione numerica), puoi prendere questa \(m\) talmente grande da rendere piccina la differenza \(\lvert f(x)-f_m(x)\rvert\). Nel frattempo l'altro addendo a destra se ne sta buono per via della condizione di Cauchy. In conclusione ottieni che per \(n \ge n_0\) e \(\lVert x \rVert \le 1\) è
\[\lvert f(x)-f_n(x)\rvert \le 2\varepsilon.\]
E quindi hai finito.
Ah, già. Mando $m to + infty$ e ho finito.
A questo punto, abbiamo mostrato che una successione di Cauchy in $X^{star}$ converge ad una funzione $f(x)$.
Ora bisogna provare che questa $f$ sta proprio in $X^{star}$ cioè è lineare e continua. La linearità è ok, perchè abbiamo fatto vedere prima che c'è convergenza anche nel senso numerico e lì abbiamo mostrato la linearità della funzione limite.
Resta la continuità che però a questo punto, se non ho sparato boiate prima, segue da quanto hai scritto tu.
Grazie mille.
A questo punto, abbiamo mostrato che una successione di Cauchy in $X^{star}$ converge ad una funzione $f(x)$.
Ora bisogna provare che questa $f$ sta proprio in $X^{star}$ cioè è lineare e continua. La linearità è ok, perchè abbiamo fatto vedere prima che c'è convergenza anche nel senso numerico e lì abbiamo mostrato la linearità della funzione limite.
Resta la continuità che però a questo punto, se non ho sparato boiate prima, segue da quanto hai scritto tu.
Grazie mille.
Ed ecco i commenti.
So che ci sono svariati motivi perché si operi questa scelta. So anche che di questi motivi io ne conosco pochini! Operativamente la norma di un funzionale lineare \(f\) è la migliore (=minima possibile) costante nella disuguaglianza
\[\lvert f(x) \rvert \le C \lVert x \rVert,\]
ed essa induce la convergenza uniforme sulle parti limitate:
\[\lVert f_n - f\rVert_\star \to 0 \qquad \iff \qquad f_n(x) \to f(x),\ \text{uniformemente su ogni }A \subset X\ \text{limitato}.\]
Sono possibili molte interpretazioni di questa norma. Una geometrica piuttosto interessante è spiegata qui: (leggi da "Let us return to..." in poi).
Certo: \(f\) è stata individuata come limite puntuale di \(f_n\), cosa che implica banalmente linearità ma non continuità. La maniera più veloce di mostrare che \(f\) è continua è quella di sfruttarne la linearità: siccome \(f_n\) è una successione di Cauchy essa è limitata e pertanto esiste una costante \(M\) tale che
\[\lvert f_n(x)\rvert \le M \lVert x \rVert\]
per ogni \(x\in X\). Prendendo il limite per \(n \to \infty\) (è sufficiente il limite puntuale) ottieni \(\lvert f(x)\rvert \le M \lVert x \rVert\): grazie alla linearità di \(f\) ciò è sufficiente a dimostrarne la continuità.
Comunque, anche il procedimento che suggerisci qui va bene:
"Paolo90":
la norma duale di un funzionale è definita come il sup del modulo sulla palla di raggio 1: $||f||_\star="sup"_{||x||<=1} |f(x)| $ (tra l'altro mi piacerebbe capire da dove salti fuori... il Brezis la dà semplicemente come definizione).
So che ci sono svariati motivi perché si operi questa scelta. So anche che di questi motivi io ne conosco pochini!
Operativamente la norma di un funzionale lineare \(f\) è la migliore (=minima possibile) costante nella disuguaglianza \[\lvert f(x) \rvert \le C \lVert x \rVert,\]
ed essa induce la convergenza uniforme sulle parti limitate:
\[\lVert f_n - f\rVert_\star \to 0 \qquad \iff \qquad f_n(x) \to f(x),\ \text{uniformemente su ogni }A \subset X\ \text{limitato}.\]
Sono possibili molte interpretazioni di questa norma. Una geometrica piuttosto interessante è spiegata qui: (leggi da "Let us return to..." in poi).
bisogna provare che \(f\) sta proprio in \(X^\star\) cioè è lineare e continua...
Certo: \(f\) è stata individuata come limite puntuale di \(f_n\), cosa che implica banalmente linearità ma non continuità. La maniera più veloce di mostrare che \(f\) è continua è quella di sfruttarne la linearità: siccome \(f_n\) è una successione di Cauchy essa è limitata e pertanto esiste una costante \(M\) tale che
\[\lvert f_n(x)\rvert \le M \lVert x \rVert\]
per ogni \(x\in X\). Prendendo il limite per \(n \to \infty\) (è sufficiente il limite puntuale) ottieni \(\lvert f(x)\rvert \le M \lVert x \rVert\): grazie alla linearità di \(f\) ciò è sufficiente a dimostrarne la continuità.
Comunque, anche il procedimento che suggerisci qui va bene:
Comunque, direi che la continuità delle funzione limite è, in ultima analisi, una conseguenza di un noto teorema sulla convergenza uniforme, no?Si. Con quell'argomento di \(2\varepsilon\) tu dimostri che \(f_n\) converge ad \(f\) uniformemente sulle parti limitate di \(X\) e quindi anche uniformemente su ogni sfera aperta. Per il teorema sulla convergenza uniforme che dici concludiamo che \(f\) è continua su ogni sfera aperta e dunque essa è continua globalmente. Questo approccio è più topologico del precedente che invece è puramente analitico.
Bene, ora è decisamente più chiaro, ti ringrazio. Avevo fatto un bel miscuglio, ora vedo le cose in maniera decisamente più limpida. Menomale che ho chiesto, sembrava un esercizio "banale", in realtà mi ha permesso di capire meglio un bel po' di cose.
Mi resta una curiosità: da questo fatto, ossia dalla completezza di $X^star$, segue qualche risultato importante? Perchè è importante (ammesso che lo sia) sapere che il duale di uno spazio è sempre completo?
Grazie mille, come al solito.
Mi resta una curiosità: da questo fatto, ossia dalla completezza di $X^star$, segue qualche risultato importante? Perchè è importante (ammesso che lo sia) sapere che il duale di uno spazio è sempre completo?
Grazie mille, come al solito.
"Paolo90":
Mi resta una curiosità: da questo fatto, ossia dalla completezza di $X^star$, segue qualche risultato importante? Perchè è importante (ammesso che lo sia) sapere che il duale di uno spazio è sempre completo?
Non penso sia un risultato molto importante nel senso che non ha molte implicazioni, che io sappia. Questo perché l'analisi di uno spazio normato si fa "sempre" in ipotesi di completezza, senza la quale non si riescono ad ottenere teoremi non banali.
Ok, grazie mille per le spiegazioni.
Più in generale io so che se $X$ è normato e $Y$ di banach allora lo spazio delle funzioni lineari continue da $X$ in $Y$ è di banach.
Si dimostra sfruttando la convergenza di successioni di cauchy elementi di $Y$ visti come $f(x), x in X$, e si vede che la $f$ candidata è continua.
Si dimostra sfruttando la convergenza di successioni di cauchy elementi di $Y$ visti come $f(x), x in X$, e si vede che la $f$ candidata è continua.
Beh, una cosa da dire è questa.
Sia $X$ uno spazio normato. Possiamo definire il suo duale $X'$: questo è uno spazio normato (è uno spazio di Banach).
Allora possiamo fare anche lo spazio duale di $X'$, chiamiamolo $X''$.
$X''$ è il duale di uno spazio normato, è uno spazio di Banach.
Uno spazio $X$ si dice riflessivo (è una proprietà importante in matematica, per esempio ogni spazio di Hilbert lo è, lo sono gli spazi $L^p$ per $1
Ma allora abbiamo subito che uno spazio normato non completo non può essere riflessivo.
Ok, magari non servirà a niente, però è la prima cosa che m'è venuta in mente.
Sia $X$ uno spazio normato. Possiamo definire il suo duale $X'$: questo è uno spazio normato (è uno spazio di Banach).
Allora possiamo fare anche lo spazio duale di $X'$, chiamiamolo $X''$.
$X''$ è il duale di uno spazio normato, è uno spazio di Banach.
Uno spazio $X$ si dice riflessivo (è una proprietà importante in matematica, per esempio ogni spazio di Hilbert lo è, lo sono gli spazi $L^p$ per $1
Ma allora abbiamo subito che uno spazio normato non completo non può essere riflessivo.
Ok, magari non servirà a niente, però è la prima cosa che m'è venuta in mente.
Uh, interessante questa cosa sulla riflessività, Gaal. Avevo letto qualcosa sul Brezis, ma non avevo pensato a quanto dici tu.
Tra l'altro, ho visto che il Brezis dà una bella caratterizzazione degli spazi riflessivi: la compattezza della palla chiusa di raggio 1 in una qualche topologia debole. Ma non conoscendo ancora l'argomento, mi devo fermare qui.
Grazie mille per le vostre osservazioni.
Tra l'altro, ho visto che il Brezis dà una bella caratterizzazione degli spazi riflessivi: la compattezza della palla chiusa di raggio 1 in una qualche topologia debole. Ma non conoscendo ancora l'argomento, mi devo fermare qui.
Grazie mille per le vostre osservazioni.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo