X come sviluppo in serie (folle)
Le funzioni analitiche possono essere sviluppate in funzioni di Taylor, ma i polinomi possono essere scritti come serie? Posso scrivere la funzione x come somma infinita di altre funzioni?
L'idea mi è venuta guardando gli sviluppi in serie delle funzioni e^nx (con n numero naturale) e ho pensato che magari considerando gli sviluppi in serie fino ai termini del decimo ordine delle funzioni e^nx da n=1 a n=10 si ottiene un sistema lineare se si considerano i monomi come incognite ( x x^2 x^3 ... etc come incognite) che risolvendolo ci da i monomi in funzione delle funzione e e^nx.
Cosa che non serve a niente.
Ma secondo voi ha senso? Si ottiene cosi un approssimazione per un piccolo intorno del tipo x=f(e^x,e^2x,e^3x,...) oppure no?
L'idea mi è venuta guardando gli sviluppi in serie delle funzioni e^nx (con n numero naturale) e ho pensato che magari considerando gli sviluppi in serie fino ai termini del decimo ordine delle funzioni e^nx da n=1 a n=10 si ottiene un sistema lineare se si considerano i monomi come incognite ( x x^2 x^3 ... etc come incognite) che risolvendolo ci da i monomi in funzione delle funzione e e^nx.
Cosa che non serve a niente.
Ma secondo voi ha senso? Si ottiene cosi un approssimazione per un piccolo intorno del tipo x=f(e^x,e^2x,e^3x,...) oppure no?
Risposte
Lo sviluppo in serie di Taylor ha lo scopo di linearizzare una funzione in un determinato punto.
Che senso ha rettificare una retta?
Che senso ha rettificare una retta?
"Magma":
Lo sviluppo in serie di Taylor ha lo scopo di linearizzare una funzione in un determinato punto.
Che senso ha rettificare una retta?
Sarebbe un operazione inversa alla rettifica, una retta in funzione di curve.
Cosa che non serve a niente.
Ogni polinomio coincide (evidentemente) con la propria serie di MacLaurin.
Se poi vuoi sviluppare con centro in un altro punto $x_0$, basta far comparire le varie potenze di $x-x_0$ con un metodo simile a quello del "completamento del quadrato". Ad esempio, lo sviluppo in serie di Taylor con centro in $1$ di $x^3$ si può trovare così:
\[
\begin{split}
x^3 &= x^3 - 3x^2 + 3x -1\\
&\phantom{=} + 3x^2 - 3x +1\\
&= (x-1)^3 +3(x^2 -2x +1)\\
&\phantom{=}+3x-2\\
&= (x-1)^3 +3(x-1)^2 +3(x-1)+1
\end{split}
\]
oltre che, ovviamente, sfruttando la definizione.
Per il resto, gli sviluppi in serie di funzioni che non siano potenze sono comunissimi ed utilissimi... Ad esempio, uno dei problemi che ha dato nei secoli scorsi un gran impulso alla ricerca matematica è stato quello di stabilire quali funzioni $f$ godessero di una rappresentazione in serie del tipo:
\[
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n\ \cos nx + b_n\ \sin nx\;,
\]
cioè quali fossero le funzioni tali che:
\[
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n\ \cos nx + b_n\ \sin nx\;.
\]
Questo problema, che nasce in connessione con lo studio della propagazione del calore iniziato da Fourier intorno al 1820, fu studiato da Dirichlet, Riemann, Lebesgue e Carleson ed ha stimolato così tanti matematici che sono nate intere teorie in connessione con esso.
Se poi vuoi sviluppare con centro in un altro punto $x_0$, basta far comparire le varie potenze di $x-x_0$ con un metodo simile a quello del "completamento del quadrato". Ad esempio, lo sviluppo in serie di Taylor con centro in $1$ di $x^3$ si può trovare così:
\[
\begin{split}
x^3 &= x^3 - 3x^2 + 3x -1\\
&\phantom{=} + 3x^2 - 3x +1\\
&= (x-1)^3 +3(x^2 -2x +1)\\
&\phantom{=}+3x-2\\
&= (x-1)^3 +3(x-1)^2 +3(x-1)+1
\end{split}
\]
oltre che, ovviamente, sfruttando la definizione.
Per il resto, gli sviluppi in serie di funzioni che non siano potenze sono comunissimi ed utilissimi... Ad esempio, uno dei problemi che ha dato nei secoli scorsi un gran impulso alla ricerca matematica è stato quello di stabilire quali funzioni $f$ godessero di una rappresentazione in serie del tipo:
\[
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n\ \cos nx + b_n\ \sin nx\;,
\]
cioè quali fossero le funzioni tali che:
\[
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n\ \cos nx + b_n\ \sin nx\;.
\]
Questo problema, che nasce in connessione con lo studio della propagazione del calore iniziato da Fourier intorno al 1820, fu studiato da Dirichlet, Riemann, Lebesgue e Carleson ed ha stimolato così tanti matematici che sono nate intere teorie in connessione con esso.
Io volevo ottenere x in funzione delle funzioni e^nx (n numero naturale) sfruttando gli sviluppi troncati delle funzioni e^nx.
Esempio:
per x prossimi a zero
$ e^x=1+x+(x^2)/2 $
$ e^2x=1+2x+x^2 $
da cui risolvendo:
$ x=e^x-1-(e^(2x)-1-2x)/4 $
Gli = sono similitudini, ho provato i comandi \sim e \simeq ma non li so far funzionare
Esempio:
per x prossimi a zero
$ e^x=1+x+(x^2)/2 $
$ e^2x=1+2x+x^2 $
da cui risolvendo:
$ x=e^x-1-(e^(2x)-1-2x)/4 $
Gli = sono similitudini, ho provato i comandi \sim e \simeq ma non li so far funzionare
$ x-0=e^x-1-(e^(2x)-1-2x)/4 $
x(0)-0=0-0=1/4
si ottiene una funzione che in 0 passa per 0.25 ed ha una leggera pendenza positiva.
(Ho detto che era una cosa folle)
Se cistruissi un sistema di 10 equazioni otterremo qualcosa di meglio?
x(0)-0=0-0=1/4
si ottiene una funzione che in 0 passa per 0.25 ed ha una leggera pendenza positiva.
(Ho detto che era una cosa folle)
Se cistruissi un sistema di 10 equazioni otterremo qualcosa di meglio?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo