W^2 Sin[(n-1)a]+2w Sin[na]+Sin[(n+1)a]=0 si puo' fare?
ciao a tutti sono nuovo del forum e mi presento: mi chiamo Salvatore e sto frequentando il primo anno di dottorato in fisica a Cosenza.
Come da oggetto mi sono imbattuto in questa simpatica equazione e sono arrivato alla conclusione che non si possa trovare una forma analitica per gli zeri ( l'incognita e' a ).
Se qualcuno non e' d'accordo o al contrario mi da ragione mi piacerebbe parlarne un pochino.
Grazie a chiunque mi risponda
Come da oggetto mi sono imbattuto in questa simpatica equazione e sono arrivato alla conclusione che non si possa trovare una forma analitica per gli zeri ( l'incognita e' a ).
Se qualcuno non e' d'accordo o al contrario mi da ragione mi piacerebbe parlarne un pochino.
Grazie a chiunque mi risponda
Risposte
Qualche condizione su $w$?
Intanto potresti provare a sviluppare i seni con somma/differenza, potrebbe venire qualcosa di carino.
Io l'ho ricondotta ad una equazione algebrica (a dire la verità, 2 equazioni algebriche) di grado $n+1$ entrambe. Ti faccio vedere come:
poiché $\sin(nx)=\frac{e^{i nx}-e^{-i nx}}{2i}$ puoi scrivere
$w^2\cdot\frac{e^{i nx}\ e^{-ix}-e^{-i nx}\ e^{ix}}{2i}+2w\cdot\frac{e^{i nx}-e^{-i nx}}{2i}+\frac{e^{i nx}\ e^{ix}-e^{-i nx}\ e^{-ix}}{2i}=0$
da cui
$w^2\ e^{2i nx}-w^2\ e^{2ix}+2w\ e^{2i nx}\ e^{2ix}-2w\ e^{ix}+e^{2i nx}\ e^{2ix}-1=0$
e quindi
$e^{2i nx}(w+e^{ix})^2-(w\ e^{ix}+1)^2=0$
ed usando la decomposizione per una differenza di due quadrati
$[e^{i nx}(w+e^{ix})-w\ e^{ix}-1][e^{i nx}(w+e^{ix})+w\ e^{ix}+1]=0.$
A questo punto, posto $t=e^{ix}$ trovi le due equazioni
$t^{n+1}+w\ t^n-w\ t-1=0$
$t^{n+1}+w\ t^n+w\ t+1=0$
la prima delle quali ammette sempre radice $t=1$ e quindi si può riscrivere
$(t-1)[t^n+(1+w)\sum_{j=1}^{n-1} t^j+1]=0$
Per le soluzioni in generale, ci sto lavornado!
poiché $\sin(nx)=\frac{e^{i nx}-e^{-i nx}}{2i}$ puoi scrivere
$w^2\cdot\frac{e^{i nx}\ e^{-ix}-e^{-i nx}\ e^{ix}}{2i}+2w\cdot\frac{e^{i nx}-e^{-i nx}}{2i}+\frac{e^{i nx}\ e^{ix}-e^{-i nx}\ e^{-ix}}{2i}=0$
da cui
$w^2\ e^{2i nx}-w^2\ e^{2ix}+2w\ e^{2i nx}\ e^{2ix}-2w\ e^{ix}+e^{2i nx}\ e^{2ix}-1=0$
e quindi
$e^{2i nx}(w+e^{ix})^2-(w\ e^{ix}+1)^2=0$
ed usando la decomposizione per una differenza di due quadrati
$[e^{i nx}(w+e^{ix})-w\ e^{ix}-1][e^{i nx}(w+e^{ix})+w\ e^{ix}+1]=0.$
A questo punto, posto $t=e^{ix}$ trovi le due equazioni
$t^{n+1}+w\ t^n-w\ t-1=0$
$t^{n+1}+w\ t^n+w\ t+1=0$
la prima delle quali ammette sempre radice $t=1$ e quindi si può riscrivere
$(t-1)[t^n+(1+w)\sum_{j=1}^{n-1} t^j+1]=0$
Per le soluzioni in generale, ci sto lavornado!
ciao a tutti e grazie per l'interessamento.
a me interessano i risultati con w compreso tra -1 e 1.
e aggiungo che w appartiene ai reali.
grazie ancora
a me interessano i risultati con w compreso tra -1 e 1.
e aggiungo che w appartiene ai reali.
grazie ancora
Niente da fare, continuo a riscriverla come un polinomio di grado n.
mi sto convincendo sempre piu' che non si possa effettivamente fare.
mi sto convincendo sempre piu' che non si possa effettivamente fare.
Nessuno che confermi la mia ipotesi?
L'ho guardata e riguardata: se la metto dentro u software tipo maple, riesce a darmi tranquillamente le soluzioni (per ogni $n$), tuttavia non riesco a venire a capo di una possibile formula chiusa per esse! Credo che tu possa fare un po' di ragionamenti qualitativi sul numero di soluzioni, ma riuscire a scrivere in modo facile un algoritmo per le soluzioni mi sembra arduo!
ok grazie e' quello che pensavo.
nel caso riesco a fare qualche passo avanti lo psto subito.
nel caso riesco a fare qualche passo avanti lo psto subito.
macche' non ci sta niente da fare
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