$W_0^{1,p}(\Omega) \subseteq L^{\infty}(\Omega)$ ?
Salve a tutti!
Non riesco a capire se sia vero in generale che $W_0^{1,p}(\Omega) \subseteq L^{\infty}(\Omega)$ dove $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ è aperto, oppure no! Mi dareste gentilmente almeno un indizio su come potrei ragionare?
Grazie mille, ciao!
Non riesco a capire se sia vero in generale che $W_0^{1,p}(\Omega) \subseteq L^{\infty}(\Omega)$ dove $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ è aperto, oppure no! Mi dareste gentilmente almeno un indizio su come potrei ragionare?
Grazie mille, ciao!
Risposte
Questa proprietà certamente non è vera se \(1 \leq p
Ad esempio, tanto per non farla lunga, prendi la palla unitaria \(B(o;1)\) e la funzione \(u(x):= -\log |x|\) che non è limitata, perciò \(u\notin L^\infty\).
Tale funzione sta in \(L^p\) per ogni \(p\), perché:
\[
\int_{B(o;1)} (-\log |x|)^p\ \text{d} x = \omega_N\ \int_0^1 (\log r)^p\ r^{N-1}\ \text{d} r <+\infty \; ;
\]
d'altra parte:
\[
\int_{B(o;1)} \left| \nabla \left( \log |x|\right) \right|^p\ \text{d} x = \omega_N \int_0^1 \frac{1}{r^{p}}\ r^{N-1}\ \text{d} r <+\infty \quad \Leftrightarrow \quad p
quindi \(u\in W_0^{1,p}(B(o;1))\) solo se \(1\leq p
Ciò ti mostra che esistono funzioni \(W_0^{1,p}\) che non stanno in \(L^\infty\) per \(1\leq p
Se, invece, \(p>N\) e se la frontiera del tuo aperto è "sufficientemente buona" la disuguaglianza di Sobolev ti assicura che per ogni \(u\in W_0^{1,p}\):
\[
\| u\|_\infty \leq C\ \|u\|_{W^{1,p}}\; ;
\]
quindi le Sobolev \(W_0^{1,p}\) sono automaticamente \(L^\infty\) se la frontiera di \(\Omega\) "buona" (ad esempio, se è \(C^1\) o Lipschitziana).
Nel caso critico \(p=N\), credo si possano fornire controesempi analoghi che mostrano l'esistenza di \(u\in W_0^{1,N}\) che non sono limitate.
Lo stesso credo si possa fare per \(p>N\) e \(\partial \Omega\) "brutta".
Per queste questioni potresti consultare il Brezis o, al limite, l'Adams & Fournier.
Ad esempio, tanto per non farla lunga, prendi la palla unitaria \(B(o;1)\) e la funzione \(u(x):= -\log |x|\) che non è limitata, perciò \(u\notin L^\infty\).
Tale funzione sta in \(L^p\) per ogni \(p\), perché:
\[
\int_{B(o;1)} (-\log |x|)^p\ \text{d} x = \omega_N\ \int_0^1 (\log r)^p\ r^{N-1}\ \text{d} r <+\infty \; ;
\]
d'altra parte:
\[
\int_{B(o;1)} \left| \nabla \left( \log |x|\right) \right|^p\ \text{d} x = \omega_N \int_0^1 \frac{1}{r^{p}}\ r^{N-1}\ \text{d} r <+\infty \quad \Leftrightarrow \quad p
quindi \(u\in W_0^{1,p}(B(o;1))\) solo se \(1\leq p
Ciò ti mostra che esistono funzioni \(W_0^{1,p}\) che non stanno in \(L^\infty\) per \(1\leq p
Se, invece, \(p>N\) e se la frontiera del tuo aperto è "sufficientemente buona" la disuguaglianza di Sobolev ti assicura che per ogni \(u\in W_0^{1,p}\):
\[
\| u\|_\infty \leq C\ \|u\|_{W^{1,p}}\; ;
\]
quindi le Sobolev \(W_0^{1,p}\) sono automaticamente \(L^\infty\) se la frontiera di \(\Omega\) "buona" (ad esempio, se è \(C^1\) o Lipschitziana).
Nel caso critico \(p=N\), credo si possano fornire controesempi analoghi che mostrano l'esistenza di \(u\in W_0^{1,N}\) che non sono limitate.
Lo stesso credo si possa fare per \(p>N\) e \(\partial \Omega\) "brutta".
Per queste questioni potresti consultare il Brezis o, al limite, l'Adams & Fournier.
Ciao Gugo, grazie della risposta!
Ho dei dubbi sulle idee che mi hai suggerito. Ad esempio, come si dimostra che il primo integrale converge per ogni $p$? Io ho pensato di usare il fatto che $\lim_{r \to 0^+} r^\alpha \log r=0$ per ogni $\alpha \gt 0$, in modo tale che vicino allo zero si abbia $|log r|^pr^{N-1} \le r^{-\alpha p+N-1}$ che è integrabile se si sceglie un $\alpha \in \]0,\frac{N}{p}\[$. E' giusto?
Poi, non mi è per nulla chiaro come costruire esplicitamente una successione di funzioni in $\mathcal{C}_c^\infty(\Omega)$ convergente in $W^{1,p}(\Omega)$ a questa funzione $u$! Mi faresti vedere tale costruzione per favore?
Grazie mille, ciao!
Ho dei dubbi sulle idee che mi hai suggerito. Ad esempio, come si dimostra che il primo integrale converge per ogni $p$? Io ho pensato di usare il fatto che $\lim_{r \to 0^+} r^\alpha \log r=0$ per ogni $\alpha \gt 0$, in modo tale che vicino allo zero si abbia $|log r|^pr^{N-1} \le r^{-\alpha p+N-1}$ che è integrabile se si sceglie un $\alpha \in \]0,\frac{N}{p}\[$. E' giusto?
Poi, non mi è per nulla chiaro come costruire esplicitamente una successione di funzioni in $\mathcal{C}_c^\infty(\Omega)$ convergente in $W^{1,p}(\Omega)$ a questa funzione $u$! Mi faresti vedere tale costruzione per favore?
Grazie mille, ciao!
Che la funzione sia sommabile è un esercizio di Analisi I...
Per quanto riguarda il resto, puoi anche fare a meno di usare esplicitamente la caratterizzazione di \(W_0^{1,p}\) come completamento di \(C_c^\infty\), per optare per la caratterizzazione delle funzioni si Sobolev come funzioni assolutamente continue sulle rette parallele agli assi (Leoni, A First Course in Sobolev Spaces, § 10.3).
Se non vuoi, per trovare una successione approssimante potrebbe bastare troncare opportunamente la \(u\) e regolarizzare con l'uso di un mollificatore appropriato.
Per quanto riguarda il resto, puoi anche fare a meno di usare esplicitamente la caratterizzazione di \(W_0^{1,p}\) come completamento di \(C_c^\infty\), per optare per la caratterizzazione delle funzioni si Sobolev come funzioni assolutamente continue sulle rette parallele agli assi (Leoni, A First Course in Sobolev Spaces, § 10.3).
Se non vuoi, per trovare una successione approssimante potrebbe bastare troncare opportunamente la \(u\) e regolarizzare con l'uso di un mollificatore appropriato.
"gugo82":
Che la funzione sia sommabile è un esercizio di Analisi I...
Ne sono consapevole, ma non pensavo che Analisi I fosse tabù all'interno dei topic di Analisi superiore...
"gugo82":
Per quanto riguarda il resto, puoi anche fare a meno di usare esplicitamente la caratterizzazione di \(W_0^{1,p}\) come completamento di \(C_c^\infty\), per optare per la caratterizzazione delle funzioni si Sobolev come funzioni assolutamente continue sulle rette parallele agli assi (Leoni, A First Course in Sobolev Spaces, § 10.3).
Se non vuoi, per trovare una successione approssimante potrebbe bastare troncare opportunamente la \(u\) e regolarizzare con l'uso di un mollificatore appropriato.
Del tipo che tronco la $u$ in un intorno dello zero, poi la estendo a zero su tutto $\mathbb{R}^N$ e mollifico convolvendo l'estensione con un nucleo di mollificazione?
Sì.
Anzi, al posto di prendere la \(u\) che ti ho detto (che poi la dovresti troncare ulteriormente per far rimanere il supporto della convoluzione dentro la palla), prendi:
\[
u(x):= \begin{cases} -\log (2|x|) &\text{, se } 0<|x|\leq \frac{1}{2} \\
0 &\text{, se } x=0 \text{ oppure } \frac{1}{2}< |x|\leq 1
\end{cases}
\]
di modo che il supporto di \(u\) è già tutto bello compattamente incluso in \(B(o;1)\).
Ora, se tronchi la \(u\) al livello \(2^n\) e se prendi il mollificatore con \(\varepsilon = 2^{-n}\), anche la regolarizzata \(u^n = \phi_{2^{-n}} * T_{2^n} u\) della troncata \(T_{2^n} u\)* ha la stessa proprietà di supporto compattamente incluso in \(B(o;1)\).
Quindi \(u^n\) è di sicuro \(C_c^\infty (B(o;1))\).
Rimane da mostrare che \(u^n\to u\) in \(W^{1,p}\), ma questo credo si faccia abbastanza facilmente.
P.S.: Analisi I non è tabù... Ma si suppone che chi parla di funzioni di Sobolev un minimo di dimestichezza con la sommabilità dele funzioni elementari ce l'abbia.
__________
* Ricordo che l'operatore di troncamento è definito da:
\[
T_k y := \begin{cases} y &\text{, se } -k\leq y\leq k \\ k &\text{, se } y>k \\ -k &\text{, se } y<-k\end{cases}
\]
cosicché:
\[
(T_ku)(x)=\begin{cases} u(x) &\text{, se } -k\leq u(x)\leq k \\ k &\text{, se } u(x)>k \\ -k &\text{, se } u(x)<-k\end{cases}
\]
Anzi, al posto di prendere la \(u\) che ti ho detto (che poi la dovresti troncare ulteriormente per far rimanere il supporto della convoluzione dentro la palla), prendi:
\[
u(x):= \begin{cases} -\log (2|x|) &\text{, se } 0<|x|\leq \frac{1}{2} \\
0 &\text{, se } x=0 \text{ oppure } \frac{1}{2}< |x|\leq 1
\end{cases}
\]
di modo che il supporto di \(u\) è già tutto bello compattamente incluso in \(B(o;1)\).
Ora, se tronchi la \(u\) al livello \(2^n\) e se prendi il mollificatore con \(\varepsilon = 2^{-n}\), anche la regolarizzata \(u^n = \phi_{2^{-n}} * T_{2^n} u\) della troncata \(T_{2^n} u\)* ha la stessa proprietà di supporto compattamente incluso in \(B(o;1)\).
Quindi \(u^n\) è di sicuro \(C_c^\infty (B(o;1))\).
Rimane da mostrare che \(u^n\to u\) in \(W^{1,p}\), ma questo credo si faccia abbastanza facilmente.
P.S.: Analisi I non è tabù... Ma si suppone che chi parla di funzioni di Sobolev un minimo di dimestichezza con la sommabilità dele funzioni elementari ce l'abbia.
__________
* Ricordo che l'operatore di troncamento è definito da:
\[
T_k y := \begin{cases} y &\text{, se } -k\leq y\leq k \\ k &\text{, se } y>k \\ -k &\text{, se } y<-k\end{cases}
\]
cosicché:
\[
(T_ku)(x)=\begin{cases} u(x) &\text{, se } -k\leq u(x)\leq k \\ k &\text{, se } u(x)>k \\ -k &\text{, se } u(x)<-k\end{cases}
\]
Ok, l'idea mi è un po' più chiara adesso, grazie mille!
Eh, lo so, il problema è che non ho mai acquisito un'abilità sufficiente nel discutere la convergenza degli integrali generalizzati, e ogni volta non sono mai sicuro di quello che faccio...
P.S.: Analisi I non è tabù... Ma si suppone che chi parla di funzioni di Sobolev un minimo di dimestichezza con la sommabilità dele funzioni elementari ce l'abbia.
Eh, lo so, il problema è che non ho mai acquisito un'abilità sufficiente nel discutere la convergenza degli integrali generalizzati, e ogni volta non sono mai sicuro di quello che faccio...
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