Volume solido rotazione (teoria)

[Matfranz]

Ciao a tutti... Sto studiando per l'esame orale di Analisi due e ho qualche problemino con la dimostrazione di come si trova il volume di un solido di rotazione, con rotazione attorno all'asse z nello specifico. Allora la prima relazione per trovare il volume è la seguente $ int_(c)^(d) pi(f(z))^2dz $ . Infatti questa relazione credo si sia ricavata in questo modo: ho sommato le aree di tutti i cerchi ottenuti sezionando trasversalmente con piani il solido.
Poi c'è anche una seconda relazione in cui la curva è data nella forma $ z=f(y) $ .
$ int_(a)^(b) piy^2f'(y)dy $. Tuttavia la dimostrazione di questa non la trovo, e da quello che ha spiegato il professore non si capisce quasi nulla... Potresti aiutarmi nel dimostrarla? Vi ringrazio...

[enr87]

fai attenzione che questa formula funziona solo se z (rispettivamente y) è funzione di y (rispettivamente z). per trovare il volume dato dalla rotazione di un insieme misurabile si usa il teorema di pappo.
comunque nel tuo caso mi pare abbia ipotizzato che f sia invertibile, anche se ha usato una notazione un po' infelice: devi porre $z = f(y)$ e $y = g(z)$ dove $g = f^-1$ (ovvero g è l'inversa di f).
allora con la sostituzione ottieni $dz = d g(y) = g'dy $
sapendo che $f(z) = y$ (ma nota bene che questo vale grazie all'invertibilità della funzione) e sostituendo gli estremi di integrazione opportunamente, ottieni quella formula.

[Matfranz]

Non ho capito una cosa... Quale delle due funzioni dev'essere invertibile? $ y=g(z) $ o $ z=f(y) $ ?