Volume solido

[zio_mangrovia]

Non riesco a capire come impostare il calcolo del volume del solido
compreso tra il piano $xy$, $x^2+y^2<=1$, $f(x,y)=y^2$

trasformo tutto in coordinate polari:

$x^2+y^2<=1$ si traduce come $0<=rho<=1$

ma per $y^2=rho^2(sintheta)^2$ e $xy=rho^2costhetasintheta$ come si sviluppa?

[Sling]

Credo tu debba semplicemente calcolare l'integrale doppio della $ f(x,y)$ sul dominio $ x^2+y^2<=1 $ (cerchio di raggio 1 centrato nell'origine e appartenente al piano $xy$):

$ int int _{x^2+y^2<=1} y^2 dxdy$

Passando in coordinate polari:

$ 0<=rho<=1 $
$0<=theta<=2pi$
$dx dy = rho d\rho d\theta$

Adesso impostare l'integrale dovrebbe essere immediato.

[zio_mangrovia]

In realtà vedo che qualcuno nella soluzione ha anche scritto:

$z=y^2=0<=x<=rho^2(sintheta)^2$

e vedo che viene sviluppato l'integrale così:

$\int_0^(2pi)\int_0^1\int_0^(rho^2(sintheta)^2)rho$ $dz$ $drho$ $d\theta$

ma non lo capisco!

[Sling]

È la stessa cosa:

$ \int_0^(2pi)\int_0^1\int_0^(rho^2(sintheta)^2)rho $ $ dz $ $ drho $ $ d\theta $ $= \int_0^(2pi)\int_0^1 rho^3 sin^2(theta)$ $ drho $ $ d\theta $

Calcolare un integrale doppio equivale a calcolare il volume della regione dello spazio compresa tra il dominio dell'integrale (in questo caso il cerchio di raggio unitario, centrato nell'origine e giacente sul piano $xy$) e la funzione $f(x,y)$ (in questo caso $y^2$). Era questo che chiedeva l'esercizio?