Volume sfera unitaria
Salve volevo sapere come risolvere un esercizio riguardante un volume che sono praticamente sicuro vada risolto in coordinate sferiche ma vorrei sapere di preciso come,e ovviamente prima facendo il sistema fra le due figure;il testo è il seguente:
Il volume interno alla sfera unitaria $ x^2 + y^2 +z^2 = 1 $ ed al cilindro $ x^2 + y^2 - x = 0 $ vale:
a)$pi$
b)$(3pi/7)-1$
c)$(pi*sqrt2)/2$
d)N.A.
e)$ 4pi/3 -2/3 $
Il volume interno alla sfera unitaria $ x^2 + y^2 +z^2 = 1 $ ed al cilindro $ x^2 + y^2 - x = 0 $ vale:
a)$pi$
b)$(3pi/7)-1$
c)$(pi*sqrt2)/2$
d)N.A.
e)$ 4pi/3 -2/3 $
Risposte
Guarda che:
\[
x^2+y^2-x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left( x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{4}
\]
quindi il tuo cilindro è il cilindro circolare retto di base il cerchio \(C\) nel piano \(Oxy\) di centro \((1/2,0,0))\) e raggio \(1/2\); conseguentemente la regione di cui vuoi calcolare il volume è:
\[
D:=\Big\{(x,y,z): \underbrace{x^2+y^2-x\leq 0}_{\text{cioé }(x,y)\in C} \text{ e } -\sqrt{1-x^2-y^2}\leq z\leq \sqrt{1-x^2-y^2}\Big\}
\]
e se chiami \(D^+\) la parte di \(D\) nel primo ottante (cioé quella formata dai punti con \(x,y,z\geq0\)) e chiami \(C^+\) la parte di \(C\) nel primo quadrante di \(Oxy\), hai:
\[
\begin{split}
\operatorname{vol} (D) &= 4\ \operatorname{vol} (D^+)\\
&= 4\ \int_{C^+} \left(\int_0^\sqrt{1-x^2-y^2} \text{d} z\ \right)\ \text{d} x\text{d} y\\
&= 4\ \int_{C^+} \sqrt{1-x^2-y^2}\ \text{d} x\text{d} y\; .
\end{split}
\]
Per calcolare l'ultimo integrale, prova a passare in polari stando attento alla limitazione su \(\rho\).
\[
x^2+y^2-x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left( x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{4}
\]
quindi il tuo cilindro è il cilindro circolare retto di base il cerchio \(C\) nel piano \(Oxy\) di centro \((1/2,0,0))\) e raggio \(1/2\); conseguentemente la regione di cui vuoi calcolare il volume è:
\[
D:=\Big\{(x,y,z): \underbrace{x^2+y^2-x\leq 0}_{\text{cioé }(x,y)\in C} \text{ e } -\sqrt{1-x^2-y^2}\leq z\leq \sqrt{1-x^2-y^2}\Big\}
\]
e se chiami \(D^+\) la parte di \(D\) nel primo ottante (cioé quella formata dai punti con \(x,y,z\geq0\)) e chiami \(C^+\) la parte di \(C\) nel primo quadrante di \(Oxy\), hai:
\[
\begin{split}
\operatorname{vol} (D) &= 4\ \operatorname{vol} (D^+)\\
&= 4\ \int_{C^+} \left(\int_0^\sqrt{1-x^2-y^2} \text{d} z\ \right)\ \text{d} x\text{d} y\\
&= 4\ \int_{C^+} \sqrt{1-x^2-y^2}\ \text{d} x\text{d} y\; .
\end{split}
\]
Per calcolare l'ultimo integrale, prova a passare in polari stando attento alla limitazione su \(\rho\).
Non capisco come individuare gli estremi di $ rho $ , come faccio in generale ad individuare gli estremi di $ rho $ quando il centro non si trova nell'origine?
Ciao hange,
Si tratta della famosa Finestra di Viviani, anche se di solito è richiesta la superficie e non il volume...
Da $z = sqrt{1 - \rho^2} $ segue che $0 <= \rho <= 1 $, mentre da $\rho^2 - \rho cos\theta <= 0 $ segue che $\rho <= cos\theta $, quindi...
Pensando al volume della sfera unitaria così a naso senza fare calcoli la risposta corretta è la e), ma in realtà facendoli se non li ho sbagliati mi risulta $2/3 \pi $ e quindi se nella risposta e) non manca un $\pi $ la risposta corretta è la d) N.A.
Si tratta della famosa Finestra di Viviani, anche se di solito è richiesta la superficie e non il volume...
Da $z = sqrt{1 - \rho^2} $ segue che $0 <= \rho <= 1 $, mentre da $\rho^2 - \rho cos\theta <= 0 $ segue che $\rho <= cos\theta $, quindi...
Pensando al volume della sfera unitaria così a naso senza fare calcoli la risposta corretta è la e), ma in realtà facendoli se non li ho sbagliati mi risulta $2/3 \pi $ e quindi se nella risposta e) non manca un $\pi $ la risposta corretta è la d) N.A.
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