Volume intersezione cono-sfera
Ci sono parecchi post qui di esercizi di questo genere e si fanno sempre passando alle coordinate sferiche e da lì si trova un dominio normale su cui integrare.
Nel mio esercizio però il cono è inclinato (con asse parallelo alle ordinate) quindi non posso usare questo metodo.
Il testo è:
$\Omega = { (x,y,z) : x^2+y^2+z^2 <= 1, (x-y+z)^2+(x-z)^2 <= y^2 }$
e ne va calcolato il volume.
Accantonando un immediato passaggio di coordinate io ho provato a usare un'applicazione $\Psi(u,v,w)$
con $\Psi(Omega )= {(u,v,w) : (u^2)/2+(3*v^2)/2+(w^2)/2+uv<=1, u^2+w^2<=v^2}$
ponendo $\{(u=x-y+z),(v=y),(w=x-z):}$ con $\gradPsi = 2$
$\Vol(Omega)=2*Vol(Psi)$
Ora mi trovo davanti una conica (con il determinante della quadratica positivo quindi un ellisse) tagliata da un cono retto).
Ne calcolo le intersezioni:
$\v=(-u \pm sqrt(u^2+4))/4$
e quindi ho risolto v e allora:
$\int int int _(Psi(Omega))dudvdw = int_{-u - sqrt(u^2+4)/4}^{-u + sqrt(u^2+4)/4} dv * int int_D dudw$
Se fin qui ho fatto giusto (miracolo
) come trovo D? Centra mica la circonferenza $\u^2+w^2= k$ ?
Grazie mille in anticipo a chi vuole aiutarmi
Nel mio esercizio però il cono è inclinato (con asse parallelo alle ordinate) quindi non posso usare questo metodo.
Il testo è:
$\Omega = { (x,y,z) : x^2+y^2+z^2 <= 1, (x-y+z)^2+(x-z)^2 <= y^2 }$
e ne va calcolato il volume.
Accantonando un immediato passaggio di coordinate io ho provato a usare un'applicazione $\Psi(u,v,w)$
con $\Psi(Omega )= {(u,v,w) : (u^2)/2+(3*v^2)/2+(w^2)/2+uv<=1, u^2+w^2<=v^2}$
ponendo $\{(u=x-y+z),(v=y),(w=x-z):}$ con $\gradPsi = 2$
$\Vol(Omega)=2*Vol(Psi)$
Ora mi trovo davanti una conica (con il determinante della quadratica positivo quindi un ellisse) tagliata da un cono retto).
Ne calcolo le intersezioni:
$\v=(-u \pm sqrt(u^2+4))/4$
e quindi ho risolto v e allora:
$\int int int _(Psi(Omega))dudvdw = int_{-u - sqrt(u^2+4)/4}^{-u + sqrt(u^2+4)/4} dv * int int_D dudw$
Se fin qui ho fatto giusto (miracolo
) come trovo D? Centra mica la circonferenza $\u^2+w^2= k$ ? Grazie mille in anticipo a chi vuole aiutarmi
Risposte
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Non credo che ci sia una qualche trasformazione che renda tutto facile.
In tanto dovresti portare il cono in forma canonica (matrice e diagonalizzazione).
Poi ci si diverte a integrare per strati orizzontali.
In tanto dovresti portare il cono in forma canonica (matrice e diagonalizzazione).
Poi ci si diverte a integrare per strati orizzontali.
Allora rispolvero un po' di geometria dell'anno scorso...
Sviluppando l'equazione del cono trovo: $\2x^2 + 2z^2 -2yz-2xy=0$ e la relativa matrice dei quadrati
$\((2,-1,0),(-1,0,-1),(0,-1,2))$
e trovo gli autovalori $\lambda_1=2$ $\lambda_2=1-sqrt(3)$ $\lambda_3=1+sqrt(3))$
a cui corrispondono gli autovettori $\v_1 = (-1, 0, 1)$ $\v_2 = (1, 1+sqrt(3), 1)$ $\v_3 = (1, 1-sqrt(3), 1)$
e normalizzandoli:
$\v_1 = (-1/sqrt(2), 0, 1/sqrt(2))$ $\v_2 = (1/sqrt(6+2sqrt(3)), (1+sqrt(3))/sqrt(6+2sqrt(3)), 1/sqrt(6+2sqrt(3)))$ $\v_3 = (1/sqrt(6-2sqrt(3)), (1-sqrt(3))/sqrt(6-2sqrt(3)), 1/sqrt(6-2sqrt(3)))$
ottenendo $\R$ matrice di rotazione con $\R=((-1/sqrt(2),1/sqrt(6+2sqrt(3)),1/sqrt(6-2sqrt(3))),(0,(1+sqrt(3))/sqrt(6+2sqrt(3)),(1+sqrt(3))/sqrt(6-2sqrt(3))),(1/sqrt(2),1/sqrt(6+2sqrt(3)),1/sqrt(6-2sqrt(3))))$
Ruoto tutto l'ambaradan:
$[[x],[y],[z]] = R[[X],[Y],[Z]]$
$\{(x=-1/sqrt(2) X + 1/sqrt(6+2sqrt(3)) Y + 1/sqrt(6-2sqrt(3)) Z ),(y = (1+sqrt(3))/sqrt(6-2sqrt(3)) Y + (1+sqrt(3))/sqrt(6+2sqrt(3)) Z),(z = 1/sqrt(2) X 1/sqrt(6+sqrt(3)) Y + 1/sqrt(6-2sqrt(3)) Z):}$
E, saltando i calcoli, ottengo:
$\X^2 + (1/(3+sqrt(3)) - (1+sqrt(3))/(sqrt(6))) Y^2 + (1/(3-sqrt(3)) - (1+sqrt(3))/(sqrt(6))) Z^2 - (1 + sqrt(3)) XZ = 0$
E non c'è bisogno di traslare in quanto la conica è centrata nell'origine (usando il metodo delle derivate parziali)
Il nuovo $\Omega$ sarà
$\Omega={(X,Y,Z):X^2+Y^2+Z^2≤1,X^2+(1/(3+sqrt(3)) - (1+sqrt(3))/(sqrt(6))) Y^2 + (1/(3-sqrt(3)) - (1+sqrt(3))/(sqrt(6))) Z^2 - (1 + sqrt(3)) XZ ≤ 0}$
Ammettendo che non ho sbagliato i calcoli (che sono milioni e pure alienanti) come procedo ad integrare per fili? Faccio come ho fatto prima ora che ho semplificato un po' il cono?
Suona come una minaccia quel "ci si diverte"
Sviluppando l'equazione del cono trovo: $\2x^2 + 2z^2 -2yz-2xy=0$ e la relativa matrice dei quadrati
$\((2,-1,0),(-1,0,-1),(0,-1,2))$
e trovo gli autovalori $\lambda_1=2$ $\lambda_2=1-sqrt(3)$ $\lambda_3=1+sqrt(3))$
a cui corrispondono gli autovettori $\v_1 = (-1, 0, 1)$ $\v_2 = (1, 1+sqrt(3), 1)$ $\v_3 = (1, 1-sqrt(3), 1)$
e normalizzandoli:
$\v_1 = (-1/sqrt(2), 0, 1/sqrt(2))$ $\v_2 = (1/sqrt(6+2sqrt(3)), (1+sqrt(3))/sqrt(6+2sqrt(3)), 1/sqrt(6+2sqrt(3)))$ $\v_3 = (1/sqrt(6-2sqrt(3)), (1-sqrt(3))/sqrt(6-2sqrt(3)), 1/sqrt(6-2sqrt(3)))$
ottenendo $\R$ matrice di rotazione con $\R=((-1/sqrt(2),1/sqrt(6+2sqrt(3)),1/sqrt(6-2sqrt(3))),(0,(1+sqrt(3))/sqrt(6+2sqrt(3)),(1+sqrt(3))/sqrt(6-2sqrt(3))),(1/sqrt(2),1/sqrt(6+2sqrt(3)),1/sqrt(6-2sqrt(3))))$
Ruoto tutto l'ambaradan:
$[[x],[y],[z]] = R[[X],[Y],[Z]]$
$\{(x=-1/sqrt(2) X + 1/sqrt(6+2sqrt(3)) Y + 1/sqrt(6-2sqrt(3)) Z ),(y = (1+sqrt(3))/sqrt(6-2sqrt(3)) Y + (1+sqrt(3))/sqrt(6+2sqrt(3)) Z),(z = 1/sqrt(2) X 1/sqrt(6+sqrt(3)) Y + 1/sqrt(6-2sqrt(3)) Z):}$
E, saltando i calcoli, ottengo:
$\X^2 + (1/(3+sqrt(3)) - (1+sqrt(3))/(sqrt(6))) Y^2 + (1/(3-sqrt(3)) - (1+sqrt(3))/(sqrt(6))) Z^2 - (1 + sqrt(3)) XZ = 0$
E non c'è bisogno di traslare in quanto la conica è centrata nell'origine (usando il metodo delle derivate parziali)
Il nuovo $\Omega$ sarà
$\Omega={(X,Y,Z):X^2+Y^2+Z^2≤1,X^2+(1/(3+sqrt(3)) - (1+sqrt(3))/(sqrt(6))) Y^2 + (1/(3-sqrt(3)) - (1+sqrt(3))/(sqrt(6))) Z^2 - (1 + sqrt(3)) XZ ≤ 0}$
Ammettendo che non ho sbagliato i calcoli (che sono milioni e pure alienanti
) come procedo ad integrare per fili? Faccio come ho fatto prima ora che ho semplificato un po' il cono?Suona come una minaccia quel "ci si diverte"
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Please ho l'esame di Analisi tra pochi giorni T.T
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