Volume_Elicoide
Buongiorno,
Ho domanda da porre
Sto calcolando il volume generato da un profilo di base lungo un percorso elicoidale
Per il calcolo del volume, ho ipotizzato di calcolare l' area di base del profilo e di moltiplicarla per la lunghezza dell' elica, calcolata a sua volta tramite integrale
Ma come idea non mi convince più di tanto, in quanto i punti del profilo di base sono caratterizzati tutti da percorsi diversi. A causa di questo, ho ipotizzato di mediare tutti i percorsi rispetto a quello definito dal baricentro della figura
Come valutate la mia idea?
Oltre un integrale di volume di un elicoide a base trapezoidale, non ipotizzo nessun tipo di idea aggiuntiva.
Esiste già una formula definita per il volume di un elicoide?
Ho domanda da porre
Sto calcolando il volume generato da un profilo di base lungo un percorso elicoidale
Per il calcolo del volume, ho ipotizzato di calcolare l' area di base del profilo e di moltiplicarla per la lunghezza dell' elica, calcolata a sua volta tramite integrale
Ma come idea non mi convince più di tanto, in quanto i punti del profilo di base sono caratterizzati tutti da percorsi diversi. A causa di questo, ho ipotizzato di mediare tutti i percorsi rispetto a quello definito dal baricentro della figura
Come valutate la mia idea?
Oltre un integrale di volume di un elicoide a base trapezoidale, non ipotizzo nessun tipo di idea aggiuntiva.
Esiste già una formula definita per il volume di un elicoide?
Risposte
Credo una cosa tipo il teorema di Guldino possa funzionare.
L’idea è questa. Se il tuo solido $E$ è generato prendendo una famiglia di sezioni piane $\{E_t\}_{ a<= t <= b}$, di baricentri $G_t$ che seguono ortogonalmente una curva $gamma$ (senza intersecarsi o generare situazioni strane), il volume di $E$ si dovrebbe calcolare secondo la formula:
\[
\operatorname{vol} E = \int_{+ \gamma} \operatorname{area} (E_t)\ \text{d} s = \int_a^b \operatorname{area} (E_t)\ \| \gamma^\prime (t) \|\ \text{d} t\; .
\]
Fai una prova: vedi se funziona per un cilindro o un toro.
L’idea è questa. Se il tuo solido $E$ è generato prendendo una famiglia di sezioni piane $\{E_t\}_{ a<= t <= b}$, di baricentri $G_t$ che seguono ortogonalmente una curva $gamma$ (senza intersecarsi o generare situazioni strane), il volume di $E$ si dovrebbe calcolare secondo la formula:
\[
\operatorname{vol} E = \int_{+ \gamma} \operatorname{area} (E_t)\ \text{d} s = \int_a^b \operatorname{area} (E_t)\ \| \gamma^\prime (t) \|\ \text{d} t\; .
\]
Fai una prova: vedi se funziona per un cilindro o un toro.
Ti ringrazio per la risposta. è il procedimento che avevo già ipotizzato.
Però immagina questo. Ho un solido generato da un trapezio che si muove di moto elicoidale attorno all' asse z.
Io ho calcolato la lunghezza del percorso tramite l' integrale fra 0 e 2pigreco della norma della derivata del cammino parametrizzato.
Viene però un volume sottostimato, in quanto i punti si muovono su eliche diverse con lo stesso passo.
Ho provato con il cilindro, risultato del volume perfetto.
Stavo pensando di proiettare l' elica su un piano e di considerare l' isometria come una semplice traslazione verticale
Potrebbe andare secondo te?
Però immagina questo. Ho un solido generato da un trapezio che si muove di moto elicoidale attorno all' asse z.
Io ho calcolato la lunghezza del percorso tramite l' integrale fra 0 e 2pigreco della norma della derivata del cammino parametrizzato.
Viene però un volume sottostimato, in quanto i punti si muovono su eliche diverse con lo stesso passo.
Ho provato con il cilindro, risultato del volume perfetto.
Stavo pensando di proiettare l' elica su un piano e di considerare l' isometria come una semplice traslazione verticale
Potrebbe andare secondo te?
Si è capito che il filetto è trapezoidale.
Però, non hai messo bene in chiaro questo fatto: il filetto è a uno o due principî? Perchè nel momento in cui parli di "eliche diverse" mi viene il dubbio. È una cosa abbastanza particolare la vite a due principî e questo tipo di problemi in merito mi è nuovo.
Perché se è più di uno non è proprio semplice. O meglio, devi considerare diverse elicoidi purtroppo ed il calcolo da fare è doppio.
[ot]Che poi, gli aeronautici non dovrebbero usare i cherry rivets?
[/ot]
Però, non hai messo bene in chiaro questo fatto: il filetto è a uno o due principî? Perchè nel momento in cui parli di "eliche diverse" mi viene il dubbio. È una cosa abbastanza particolare la vite a due principî e questo tipo di problemi in merito mi è nuovo.
Perché se è più di uno non è proprio semplice. O meglio, devi considerare diverse elicoidi purtroppo ed il calcolo da fare è doppio.
[ot]Che poi, gli aeronautici non dovrebbero usare i cherry rivets?
[/ot]
ho solo un pricipio. Utilizzo una procedura di questo tipo. Calcolo il baricentro del profilo di base. considero la distanza di questo dall asse di sviluppo dell elica. Calcolo la lunghezza di questa e poi la moltiplico per l area. Direi che così debba essere giusta.
Esatto. E' il teorema di Pappo-Guldino.
Il teorema di Guldino, però, mi pare funzioni solo se le sezioni $E_t$ si muovono ortogonalmente alla curva descritta dal baricentro, i.e. ortogonalmente al campo di vettori $gamma^\prime$ tangenti a $gamma$.
In questo caso, invece, mi sembra di capire che la sezione trapezioidale non si muova ortogonalmente all'elica, ma si mantenga in piani passanti per l'asse $z$ mentre il baricentro segue l'elica.
Questo può generare qualche variazione nella formula, perché il campo di vettori tangenti all'elica non è ortogonale ai piani per l'asse $z$.
Ci si deve pensare con un po' di calma.
In questo caso, invece, mi sembra di capire che la sezione trapezioidale non si muova ortogonalmente all'elica, ma si mantenga in piani passanti per l'asse $z$ mentre il baricentro segue l'elica.
Questo può generare qualche variazione nella formula, perché il campo di vettori tangenti all'elica non è ortogonale ai piani per l'asse $z$.
Ci si deve pensare con un po' di calma.
Ogni punto compreso nel poligono seguono ognuno un' elica di lunghezza diversa. Io ho considerato quella passante per il baricentro per considerare quella più caratteristica. Però la superficie si muove anch' essa lungo il percorso. Quindi effettivamente la superficie risulta essere sempre ortogonale alla tangente del percorso
Finora non hai mostrato mezzo conto… Vediamo che calcoli hai fatto.
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