Volume ed estremi di integrazione

[Dxerxes]

Salve ragazzi ho un problema con gli estremi di integrazione di questo esercizio

Calcolare il volume compreso tra $z= x^2 + y^2 $ e $ z= 2- sqrt(x^2 + y^2)$
Ora applicando le coordinate cilindriche ho che
le limitazioni dell'integrale
$\ int int int dx dy dz $

Dovrebbero essere $ 0 <= \theta <= 2pi $ , $ 0<= \rho <= 2$ e poi ci sono le limitazioni di z che sono $z= (\rho)^2 $ e $z= 2- \rho$

Però non so come capire qual è l'estremo inferiore e quale il superiore.

Continuando con dei dubbi l'ho svolto e mi viene $4pi$, ma appunto, non ne sono convinto

[phigreco1]

Sia $\Omega={(x,y,z)in RR^3 : x^2 + y^2<=z<= 2- sqrt(x^2 + y^2)}$

Giusto applicare le coordinate cilindriche

$\Phi:\{(x = \rho cos\theta),(y = \rhosin\theta),(z=t):}$ con $ \rho in [0,+oo);\theta in [0,2pi] ; t in RR$ e $det|J_\Phi|=\rho$

Iniziamo a studiare gli estremi:

[*:155nqclm]$0<=\theta<=2pi$[/*:m:155nqclm]
[*:155nqclm]$\rho^2<=t<=2-\rho$[/*:m:155nqclm]
[*:155nqclm]La condizione sul raggio $\rho$ è nascosta, ma facilmente ricavabile da quella su $t$. Infatti, ricordando che $\rho^2<=t<=2-\rho$
possiamo scrivere che sicuramente: $\rho^2<=2-\rho$
$=> \rho^2+\rho-2<=0 => \rho_(1,2)=(-1+-sqrt(9))/2$ ciò dà vita a $-2<=\rho_1<=1$ ricordando che, per definizione, $\rho>=0$ allora si potrà integrare su $0<=\rho<=1$ [/*:m:155nqclm][/list:u:155nqclm]


$Vol(\Omega)= int_0^(2pi) int_0^1 int_(\rho^2)^(2-\rho) t dtd\rhod\theta=2pi int_0^1 int_(\rho^2)^(2-\rho) t dtd\rho $

Continua tu