Volume di un'intersezione tra sfera e cubo
ciao a tutti,
perdonate il titolo un po' confuso.
dovrei risolvere il seguente problema: devo calcolare il volume di una figura che si ottiene intersecando una sfera con un cubo avente le diagonali coincidenti con gli assi cartesiani.
in termini analitici, la figura è descritta da: ${x^2+y^2+z^2<=a^2, x+y+z>=a, x>=0, y>=0, z>=0}$
quindi solo la porzione di solido nel primo ottante.
per impostare l'integrale da calcolare, ho pensato di scrivere che $z$ varia come segue: $a-x-y<=z<=\sqrt(a^2-x^2-y^2)$.
il problema sta nelle altre due variabili.
sono infatti indeciso se la corretta condizione per le altre due è $0<=y<=\sqrt(a^2-x^2)$ e $0<=x<=a$
oppure se è corretto scrivere invece: $a-x<=y<=\sqrt(a^2-x^2)$ e $0<=x<=a$
sono estremamente propenso per la seconda, perchè ad esempio descrive correttamente cosa succede a $y$ quando $x=0$ (vale infatti che $x=0$ => $y=a$, come è giusto che sia). però non sono del tutto convinto di aver rimaneggiato bene le condizioni che descrivono la figura.
potreste aiutarmi a capire quale è la corretta condizione e per quali ragioni?
grazi in anticipo
perdonate il titolo un po' confuso.
dovrei risolvere il seguente problema: devo calcolare il volume di una figura che si ottiene intersecando una sfera con un cubo avente le diagonali coincidenti con gli assi cartesiani.
in termini analitici, la figura è descritta da: ${x^2+y^2+z^2<=a^2, x+y+z>=a, x>=0, y>=0, z>=0}$
quindi solo la porzione di solido nel primo ottante.
per impostare l'integrale da calcolare, ho pensato di scrivere che $z$ varia come segue: $a-x-y<=z<=\sqrt(a^2-x^2-y^2)$.
il problema sta nelle altre due variabili.
sono infatti indeciso se la corretta condizione per le altre due è $0<=y<=\sqrt(a^2-x^2)$ e $0<=x<=a$
oppure se è corretto scrivere invece: $a-x<=y<=\sqrt(a^2-x^2)$ e $0<=x<=a$
sono estremamente propenso per la seconda, perchè ad esempio descrive correttamente cosa succede a $y$ quando $x=0$ (vale infatti che $x=0$ => $y=a$, come è giusto che sia). però non sono del tutto convinto di aver rimaneggiato bene le condizioni che descrivono la figura.
potreste aiutarmi a capire quale è la corretta condizione e per quali ragioni?
grazi in anticipo
Risposte
Edit. Risposta imprecisa ed incompleta. Rimossa.
Intanto il solido non è un cubo ma un ottaedro. Si confondono, ma sono due cose diverse.
L'integrale è da spezzare in due parti, perchè in una parte la base è il piano xy, nella seconda parte è la faccia dell'ottaedro.
Comunque meglio dirlo in formule:
$\int_0^a\ \int_(a-x)^(\sqrt(a^2-x^2))\ int_(0)^(\sqrt(a^2-x^2-y^2)) \ dz\ dy\ dx +\int_0^a\ \int_(0)^(a-x)\ int_(a-x-y)^(\sqrt(a^2-x^2-y^2)) \ dz\ dy\ dx$
In ogni caso, siccome sono solidi regolari, il volume si ottiene anche con le formule dirette:
$1/8V_(SFERA)-1/8 V_(OTTAEDRO) = 1/6(\pi-1)a^3$
L'integrale è da spezzare in due parti, perchè in una parte la base è il piano xy, nella seconda parte è la faccia dell'ottaedro.
Comunque meglio dirlo in formule:
$\int_0^a\ \int_(a-x)^(\sqrt(a^2-x^2))\ int_(0)^(\sqrt(a^2-x^2-y^2)) \ dz\ dy\ dx +\int_0^a\ \int_(0)^(a-x)\ int_(a-x-y)^(\sqrt(a^2-x^2-y^2)) \ dz\ dy\ dx$
In ogni caso, siccome sono solidi regolari, il volume si ottiene anche con le formule dirette:
$1/8V_(SFERA)-1/8 V_(OTTAEDRO) = 1/6(\pi-1)a^3$
si, non è un cubo. errore mio
grazie quinzio, mi torna tutto.
risolto
grazie quinzio, mi torna tutto.
risolto
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