Volume di una superficie
Ciao a tutti...non riesco a risolvere quest'esercizio.
Trovare il volume di $z^2=x^2+y^2$ tra i piani $z=0$ e $z=3$. Devo risolvere un integrale triplo o doppio? E poi non capisco quali sono gli estremi di integrazione. Mi date una mano?
Trovare il volume di $z^2=x^2+y^2$ tra i piani $z=0$ e $z=3$. Devo risolvere un integrale triplo o doppio? E poi non capisco quali sono gli estremi di integrazione. Mi date una mano?
Risposte
Ciao
l'equazione $z^2 = x^2+y^2$ se ci pensi bene dovrebbe ricordarti un'equazione analoga ovvero $x^2+y^2 = R^2$
in questo caso hai $z$ che varia da $0$ a $3$ quindi $z^2$ varia da $0$ a $9$
per scriverlo in forma più "carina" scriviamo $0 <= z^2 <= 9$
Quindi si tratta di un tronco di cono, troncato dai piani $z=0$ e $z=3$
Vediamo ora il discorso relativo al calcolo del volume.
quando si calcola un volume di un solido in pratica si deve calcolare un integrale triplo del tipo
[tex]\displaystyle \int_{x_{a}}^{x_{b}} \int_{y_{a}}^{y_{b}} \int_{z_{a}}^{z_{b}} ? dx dy dz[/tex]
la grandezza da integrare che per ora avevo scritto con un punto interrogativo altro non è che $1$ quindi diventerebbe
[tex]\displaystyle \int_{x_{a}}^{x_{b}} \int_{y_{a}}^{y_{b}} \int_{z_{a}}^{z_{b}} 1 dx dy dz[/tex]
tutto sta adesso a capire quali sono gli estremi di integrazione.
Siccome parliamo di un cono conviene passare alle coordinare cilindriche, quindi si applica la trasformazione
[tex]\displaystyle \begin{cases} x = \rho \cos \varphi \\ y = \rho \sin \varphi \\ z=z \end{cases}[/tex]
dove $rho = sqrt(x^2 + y^2)$
facendo questo cambio di variabili trasformiamo l'integrale di prima nel seguente modo
[tex]\displaystyle \int_{x_{a}}^{x_{b}} \int_{y_{a}}^{y_{b}} \int_{z_{a}}^{z_{b}} 1 dx dy dz -> \int_{\rho_{a}}^{\rho_{b}} \int_{\varphi _{a}}^{\varphi _{b}} \int_{z_{a}}^{z_{b}} 1 |J| d \rho d \varphi dz[/tex]
dove $|J|$ è il determinante della matrice jacobiana, che è la matrice delle derivate parziali della trasformazione ovvero
[tex]\displaystyle J = \begin{pmatrix} \frac{dx}{d\rho} & \frac{dx}{d\varphi} & \frac{dx}{dz} \\ \frac{dy}{d\rho} & \frac{dy}{d\varphi} & \frac{dy}{dz} \\ \frac{dz}{d\rho} & \frac{dz}{d\varphi} & \frac{dz}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{d}{d\rho} \rho \cos \varphi & \frac{d}{d\varphi}\rho \cos \varphi & \frac{d}{dz}\rho \cos \varphi \\ \frac{d}{d\rho}\rho \sin \varphi & \frac{d}{d\varphi}\rho \sin \varphi & \frac{d}{dz}\rho \sin \varphi \\ \frac{dz}{d\rho} & \frac{dz}{d\varphi} & \frac{dz}{dz} \end{pmatrix}[/tex]
ti lascio i conti, ma vedrai il suo determinante $|J| = rho$ quindi l'integrale di prima diventa
[tex]\displaystyle \int_{\rho_{a}}^{\rho_{b}} \int_{\varphi _{a}}^{\varphi _{b}} \int_{z_{a}}^{z_{b}} \rho d \rho d \varphi dz[/tex]
a questo punto vediamo gli estremi di integrazione
per quanto riguarda $rho$, gli estremi ci vengono dati dall'equazione di partenza $z^2=x^2 + y^2$ ovvero $z = sqrt(x^2 + y^2)$ che altro non è che la definizione di $rho$ che ti ho scritto prima.
e siccome prima abbiamo visto che $0<=z<=3$ allora anche $0<=rho<=3$
vediamo ora gli estremi di $phi$
Beh qui è semplice, questo tronco di cono lo possiamo vedere come un triangolo rettangolo che ruota completamente intorno ad un cateto, quindi la rotazione essendo "completa" è di un angolo di $2 pi$ pertanto abbiamo $0<=phi<=2pi $
e per $z$ gli estremi ti sono dati dal testo dell'esercizio ovvero $0<=z<=3$
quindi il tuo integrale da calcolare diventa
[tex]\displaystyle \int_{0}^{3} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{3} \rho d \rho d \varphi dz[/tex]
che ti lascio calcolare
spero di essere stato utile
l'equazione $z^2 = x^2+y^2$ se ci pensi bene dovrebbe ricordarti un'equazione analoga ovvero $x^2+y^2 = R^2$
in questo caso hai $z$ che varia da $0$ a $3$ quindi $z^2$ varia da $0$ a $9$
per scriverlo in forma più "carina" scriviamo $0 <= z^2 <= 9$
Quindi si tratta di un tronco di cono, troncato dai piani $z=0$ e $z=3$
Vediamo ora il discorso relativo al calcolo del volume.
quando si calcola un volume di un solido in pratica si deve calcolare un integrale triplo del tipo
[tex]\displaystyle \int_{x_{a}}^{x_{b}} \int_{y_{a}}^{y_{b}} \int_{z_{a}}^{z_{b}} ? dx dy dz[/tex]
la grandezza da integrare che per ora avevo scritto con un punto interrogativo altro non è che $1$ quindi diventerebbe
[tex]\displaystyle \int_{x_{a}}^{x_{b}} \int_{y_{a}}^{y_{b}} \int_{z_{a}}^{z_{b}} 1 dx dy dz[/tex]
tutto sta adesso a capire quali sono gli estremi di integrazione.
Siccome parliamo di un cono conviene passare alle coordinare cilindriche, quindi si applica la trasformazione
[tex]\displaystyle \begin{cases} x = \rho \cos \varphi \\ y = \rho \sin \varphi \\ z=z \end{cases}[/tex]
dove $rho = sqrt(x^2 + y^2)$
facendo questo cambio di variabili trasformiamo l'integrale di prima nel seguente modo
[tex]\displaystyle \int_{x_{a}}^{x_{b}} \int_{y_{a}}^{y_{b}} \int_{z_{a}}^{z_{b}} 1 dx dy dz -> \int_{\rho_{a}}^{\rho_{b}} \int_{\varphi _{a}}^{\varphi _{b}} \int_{z_{a}}^{z_{b}} 1 |J| d \rho d \varphi dz[/tex]
dove $|J|$ è il determinante della matrice jacobiana, che è la matrice delle derivate parziali della trasformazione ovvero
[tex]\displaystyle J = \begin{pmatrix} \frac{dx}{d\rho} & \frac{dx}{d\varphi} & \frac{dx}{dz} \\ \frac{dy}{d\rho} & \frac{dy}{d\varphi} & \frac{dy}{dz} \\ \frac{dz}{d\rho} & \frac{dz}{d\varphi} & \frac{dz}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{d}{d\rho} \rho \cos \varphi & \frac{d}{d\varphi}\rho \cos \varphi & \frac{d}{dz}\rho \cos \varphi \\ \frac{d}{d\rho}\rho \sin \varphi & \frac{d}{d\varphi}\rho \sin \varphi & \frac{d}{dz}\rho \sin \varphi \\ \frac{dz}{d\rho} & \frac{dz}{d\varphi} & \frac{dz}{dz} \end{pmatrix}[/tex]
ti lascio i conti, ma vedrai il suo determinante $|J| = rho$ quindi l'integrale di prima diventa
[tex]\displaystyle \int_{\rho_{a}}^{\rho_{b}} \int_{\varphi _{a}}^{\varphi _{b}} \int_{z_{a}}^{z_{b}} \rho d \rho d \varphi dz[/tex]
a questo punto vediamo gli estremi di integrazione
per quanto riguarda $rho$, gli estremi ci vengono dati dall'equazione di partenza $z^2=x^2 + y^2$ ovvero $z = sqrt(x^2 + y^2)$ che altro non è che la definizione di $rho$ che ti ho scritto prima.
e siccome prima abbiamo visto che $0<=z<=3$ allora anche $0<=rho<=3$
vediamo ora gli estremi di $phi$
Beh qui è semplice, questo tronco di cono lo possiamo vedere come un triangolo rettangolo che ruota completamente intorno ad un cateto, quindi la rotazione essendo "completa" è di un angolo di $2 pi$ pertanto abbiamo $0<=phi<=2pi $
e per $z$ gli estremi ti sono dati dal testo dell'esercizio ovvero $0<=z<=3$
quindi il tuo integrale da calcolare diventa
[tex]\displaystyle \int_{0}^{3} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{3} \rho d \rho d \varphi dz[/tex]
che ti lascio calcolare
spero di essere stato utile
Sì la spiegazione è chiarissima! Grazie mille
Grazie mille
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