Volume di una regione tramite integrale triplo
Salve ragazzi,
avrei quest'integrale triplo da risolvere ma, a causa della febbre, ho saltato tutte le lezioni inerenti all'argomento e non so bene da dove iniziare.. Avevo provato a fare l'integrale triplo di 1 sulla regione indicata, svolgendo un primo semplice integrale in dz con i limiti imposti dal problema, quindi mi rimaneva un integrale doppio che non ho idea di come svolgere.
Chi mi da una mano?
avrei quest'integrale triplo da risolvere ma, a causa della febbre, ho saltato tutte le lezioni inerenti all'argomento e non so bene da dove iniziare.. Avevo provato a fare l'integrale triplo di 1 sulla regione indicata, svolgendo un primo semplice integrale in dz con i limiti imposti dal problema, quindi mi rimaneva un integrale doppio che non ho idea di come svolgere.
Chi mi da una mano?
Risposte
io userei coordinate cilindriche traslate:
${ ( x=rho sintheta ),( y=3+rho sin theta ),( z=z ):}$
calcola lo jacobiano ed integra risolvendo le disequazioni del dominio facendo attenzione all'ordine delle variabili.
${ ( x=rho sintheta ),( y=3+rho sin theta ),( z=z ):}$
calcola lo jacobiano ed integra risolvendo le disequazioni del dominio facendo attenzione all'ordine delle variabili.
Tutto ciò senza fare quello che avevo iniziato a fare io? Può essere un altro metodo risolutivo quello?
Comunque per le coordinate cilindriche, come mai la z rimane z? E la x non dovrebbe essere $ \rhosin\theta $ ?
Comunque per le coordinate cilindriche, come mai la z rimane z? E la x non dovrebbe essere $ \rhosin\theta $ ?
il tuo metodo non l'ho capito. anche se non usare il cambiamento di coordinate mi sembra scomodo.
la x ovviamente l'ho sbagliata: è con il coseno!
la z resta tale perchè in un cilindro la quota può essere qualunque! è limitata poi nell'integrale.
la x ovviamente l'ho sbagliata: è con il coseno!
la z resta tale perchè in un cilindro la quota può essere qualunque! è limitata poi nell'integrale.
Si si volevo dire coseno, ho risbagliato io a scrivere.. Per la z ok!
ma sostituendo x ed y nella seconda disequazione come faccio a sapere il valore di $ \rho $ e $ \theta $ ?
ma sostituendo x ed y nella seconda disequazione come faccio a sapere il valore di $ \rho $ e $ \theta $ ?
nella seconda trovi solo il valore di $rho$. ti ricordo infatti che $cos^2 theta +sin^2 theta =1$. poichè non ci sono indicazioni sull'angolo allora hai $theta in (0,2pi)$
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Tutto ok solo che alla fine mi esce $ 72\pi $ mentre dovrebbe uscire $ 36\pi $...
Comunque ho prima integrato 1 su z da 0 all'equazione data dall'esercizio (formula del volume), e poi per l'integrale doppio rimanente ho trasformato in variabili cilindriche traslate come mi hai suggerito, trovando $ \rho $ tra -3 e 3 e $ \theta $ tra 0 e $ 2\pi $.. il determinante dello jacobiano mi risulta essere $ \rho $.
Il risultato come ho scritto già prima risulta il doppio di quello che dovrebbe essere, non so se è una disattenzione da qualche parte data dall'orario o un errore di principio.
Comunque ho prima integrato 1 su z da 0 all'equazione data dall'esercizio (formula del volume), e poi per l'integrale doppio rimanente ho trasformato in variabili cilindriche traslate come mi hai suggerito, trovando $ \rho $ tra -3 e 3 e $ \theta $ tra 0 e $ 2\pi $.. il determinante dello jacobiano mi risulta essere $ \rho $.
Il risultato come ho scritto già prima risulta il doppio di quello che dovrebbe essere, non so se è una disattenzione da qualche parte data dall'orario o un errore di principio.
Le coordinate puoi usarle già dall'inizio così semplifichi anche la forma di z (non che sia sbagliato il contrario).
Lo jacobiano così cambia però.
Inoltre il raggio è sbagliato: è sempre positivo. Che senso ha un raggio negativo? Quindi $rho in (0,3)$
Lo jacobiano così cambia però.
Inoltre il raggio è sbagliato: è sempre positivo. Che senso ha un raggio negativo? Quindi $rho in (0,3)$
Okok l'unico problema era il raggio, infatti mi era sfuggito il fatto che non potesse essere negativo, grazie mille per l'aiuto!
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