Volume di un tetraedro con integrale triplo
Salve a tutti,
volevo sottoporvi un dubbio che ho avuto su di un esercizio svolto,trovato in un libro:
Con considerazioni geometriche elementari si trova che il volume, o misura m(T), del tetraedro in figura vale:
$m(T)=(abc)/6$. Verificare tale risultato tramite gli integrali tripli.
I piani xy, yz, zx hanno rispettivamente equazioni z=0, x=0, y=0. Il piano obliquo passante per i punti (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) ha invece equazione $x/a+y/b+z/c=1$. Lo spigolo del tetraedro che unisce i punti (a,0,0), (0,b,0) avrà poi equazione $x/a+y/b=1$. T risulta normale ad esempio rispetto al piano al piano x,y nella forma:
$T={0<=x<=a, 0<=y<=(1-x/a), 0<=z<=c(1-x/a-y/b)}$
$m(T)= int int int_T^{} 1 dxdydz$
Ciò che non capisco è perchè si debba fare l'integrale triplo proprio di 1.
Figura: http://imageshack.us/photo/my-images/804/fig005.png/
volevo sottoporvi un dubbio che ho avuto su di un esercizio svolto,trovato in un libro:
Con considerazioni geometriche elementari si trova che il volume, o misura m(T), del tetraedro in figura vale:
$m(T)=(abc)/6$. Verificare tale risultato tramite gli integrali tripli.
I piani xy, yz, zx hanno rispettivamente equazioni z=0, x=0, y=0. Il piano obliquo passante per i punti (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) ha invece equazione $x/a+y/b+z/c=1$. Lo spigolo del tetraedro che unisce i punti (a,0,0), (0,b,0) avrà poi equazione $x/a+y/b=1$. T risulta normale ad esempio rispetto al piano al piano x,y nella forma:
$T={0<=x<=a, 0<=y<=(1-x/a), 0<=z<=c(1-x/a-y/b)}$
$m(T)= int int int_T^{} 1 dxdydz$
Ciò che non capisco è perchè si debba fare l'integrale triplo proprio di 1.
Figura: http://imageshack.us/photo/my-images/804/fig005.png/
Risposte
Per definizione di volume. Intuitivamente, prendere l'integrale
\[\iiint_T dxdydz\]
significa sommare tutti i volumetti infinitesimi di spigoli \(dx, dy, dz\), ottenendo così il volume totale del solido \(T\).
Formalmente tale identità è assunta nella definizione di misura e integrale secondo Lebesgue. Vale anche nel contesto della misura secondo Peano-Jordan e dell'integrale di Riemann ma va dimostrata.
\[\iiint_T dxdydz\]
significa sommare tutti i volumetti infinitesimi di spigoli \(dx, dy, dz\), ottenendo così il volume totale del solido \(T\).
Formalmente tale identità è assunta nella definizione di misura e integrale secondo Lebesgue. Vale anche nel contesto della misura secondo Peano-Jordan e dell'integrale di Riemann ma va dimostrata.
Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo