Volume di un solido di rotazione

[FranT°90]

Salve a tutti.

Dopo una breve ricerca nei topic esistenti, mi sono deciso a postare qui per capire a fondo la formula di Guldino sul volume di rotazione di un dominio (badate che il tenore del problema è al livello del corso di analisi di ingegneria, roba da marcellini-sbordone versione semplificata, per intenderci).

Proprio il Marcellini Sbordone circa il teorema di Guldino afferma che:

"Sia [tex]S[/tex] il solido generato dalla rotazione di un angolo [tex]\alpha[/tex] di un dominio normale [tex]D[/tex] del piano intorno ad un asse [tex]r[/tex] non intersecante [tex]D[/tex]. Il volume di [tex]S[/tex] è dato dall'area di [tex]D[/tex] per la lunghezza dell'arco di circonferenza descritta nella rotazione del baricentro."

Non capisco bene come devo prendere questa lunghezza dell'arco!!

Parafrasando il teorema ho cercato di attualizzare una formula generale:

[tex]V = mis (D) * \alpha * d(G, r)[/tex]

dove il primo fattore (al secondo membro, ovviamente) è l'area del dominio, il secondo fattore è l'angolo di rotazione e il terzo fattore è la distanza tra l'asse intorno a cui avviene la rotazione e il baricentro del dominio.

Secondo voi va bene? Mi rivolgo soprattutto alla correttezza del terzo fattore.

Grazie!

[enr87]

mi pare sia ok, infatti la lunghezza dell'arco è data dal prodotto tra l'angolo e il raggio, cioè nel tuo caso la distanza tra asse di rotazione e baricentro.
sinceramente è una formula che non ricordo, preferisco usare le coordinate cilindriche, con cui puoi dimostrare quell'asserto e dunque calcolarti il volume dei solidi di rotazione in modo "naturale"