Volume di un solido di rotazione
Buongiorno, ho un problema con questo esercizio, sicuramente banale, ma non riesco a trovare la parametrizzazione corretta sugli intervalli.
Devo calcolare il volume di un solido di rotazione definito da
$\sqrt(x^2+y^2) \leq 1-\abs{z]$
$\abs{z] \leq 1$
La mia prima idea è stata quella di passare a coordinate cilindriche, per cui avrei
$\rho \leq 1-|z|$
$\abs{z] \leq 1$
Su $\theta$ non ho alcuna restrizione per cui è definito su un intervallo $[0, 2\pi]$, mentre $\rho$ non dovrebbe essere definito da $1-z \leq \rho \leq 1+z$? Il modulo mi manda un po' in confusione, sapreste indicarmi dove sto sbagliando?
Devo calcolare il volume di un solido di rotazione definito da
$\sqrt(x^2+y^2) \leq 1-\abs{z]$
$\abs{z] \leq 1$
La mia prima idea è stata quella di passare a coordinate cilindriche, per cui avrei
$\rho \leq 1-|z|$
$\abs{z] \leq 1$
Su $\theta$ non ho alcuna restrizione per cui è definito su un intervallo $[0, 2\pi]$, mentre $\rho$ non dovrebbe essere definito da $1-z \leq \rho \leq 1+z$? Il modulo mi manda un po' in confusione, sapreste indicarmi dove sto sbagliando?
Risposte
Ciao! Hai che $|z| \le 1 \iff -1\le z \le 1$, da cui segue che, per $\rho$, l'intervallo di integrazione varia con il segno di $z$ a causa della definizione di modulo; quindi, devi spezzare l'integrale nella somma di due integrali. Per $-1\le z \le 0$ hai che $0\le \rho \le 1+z$, mentre per $0 \le z\le 1$ hai che $0\le \rho \le 1-z$.
Quindi l'errore è sostenere che $1-z \le \rho \le 1+z$; come l'hai ricavato?
Quindi l'errore è sostenere che $1-z \le \rho \le 1+z$; come l'hai ricavato?
Hai ragione, sono stato stupido perché sono partito da
$\rho \leq 1-\abs(z)$
$1-\rho \geq \abs(z)$
$-z \leq 1-\rho \leq z$
$-1-z \leq -\rho \leq -1+z$
$1+z \geq \rho \geq 1-z$
però non ha senso come cosa, è completamente sbagliato come intervallo. Dovevo dividere la parte positiva di z da quella negativa e poi stabili l'intervallo di $\rho$ spezzandolo in due casi.
Grazie mille per l'accortezza!
$\rho \leq 1-\abs(z)$
$1-\rho \geq \abs(z)$
$-z \leq 1-\rho \leq z$
$-1-z \leq -\rho \leq -1+z$
$1+z \geq \rho \geq 1-z$
però non ha senso come cosa, è completamente sbagliato come intervallo. Dovevo dividere la parte positiva di z da quella negativa e poi stabili l'intervallo di $\rho$ spezzandolo in due casi.
Grazie mille per l'accortezza!
Prego! Ti viene sbagliato perché è falso che
Ricorda che, per ogni $t \in \mathbb{R}$ e per ogni $a \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, è $|t| \ge a \iff (t \ge a) \vee (t \le -a)$. Quella che hai scritto tu sarebbe stata vera se fosse stato $1-\rho \le |z|$.
"Frostman":
$1-\rho \geq \abs(z)$
$-z \leq 1-\rho \leq z$
Ricorda che, per ogni $t \in \mathbb{R}$ e per ogni $a \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, è $|t| \ge a \iff (t \ge a) \vee (t \le -a)$. Quella che hai scritto tu sarebbe stata vera se fosse stato $1-\rho \le |z|$.
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