Volume di un solido contenuto fra una circonferenza e una sfera
Salve, vorrei chiedervi aiuto per il seguente esercizio:
Calcolare il volume del seguente insieme: $ E={(x,y,z)in R^3:x^2+y^2<4, x^2+y^2+z^2<16} $. /i]
Da quanto ho capito, dovrei calcolare il volume del solido contenuto nella sfera di raggio 4, e che, al variare di (x,y), rispetti la condizione $ x^2+y^2<4 $, e infine calcolare $ VOL(E)=int int int_(E) (1) dx dy dz $.
Il dubbio è sulla rappresentazione parametrica da usare in questo caso: ho pensato (riferendomi alle coordinate sferiche e indicando con $ varphi $ l'angolo che parte dall'asse z) di usare la seguente rappresentazione parametrica:
$ { ( x=rho *cos(theta) *sin(varphi -pi/3) ),( y=rho*sin(theta)*sin(varphi-pi/3) ),( z=rho*cos(varphi)):} $
con
$ { ( rho=4 ),( 0<=theta<=2pi), (0<=varphi <=pi) :} $
in modo tale che, con z=0 e $ varphi =pi/2 $, sul piano x,y sia rispettata la disequazione $ x^2+y^2<4 $.
E scusate per la poca chiarezza, ma non sono sicuro della correttezza di quanto detto.
Calcolare il volume del seguente insieme: $ E={(x,y,z)in R^3:x^2+y^2<4, x^2+y^2+z^2<16} $. /i]
Da quanto ho capito, dovrei calcolare il volume del solido contenuto nella sfera di raggio 4, e che, al variare di (x,y), rispetti la condizione $ x^2+y^2<4 $, e infine calcolare $ VOL(E)=int int int_(E) (1) dx dy dz $.
Il dubbio è sulla rappresentazione parametrica da usare in questo caso: ho pensato (riferendomi alle coordinate sferiche e indicando con $ varphi $ l'angolo che parte dall'asse z) di usare la seguente rappresentazione parametrica:
$ { ( x=rho *cos(theta) *sin(varphi -pi/3) ),( y=rho*sin(theta)*sin(varphi-pi/3) ),( z=rho*cos(varphi)):} $
con
$ { ( rho=4 ),( 0<=theta<=2pi), (0<=varphi <=pi) :} $
in modo tale che, con z=0 e $ varphi =pi/2 $, sul piano x,y sia rispettata la disequazione $ x^2+y^2<4 $.
E scusate per la poca chiarezza, ma non sono sicuro della correttezza di quanto detto.
Risposte
La prima disequazione rappresenta un cilindro, non una circonferenza. Inoltre il cilindro è interno alla sfera (il raggio sul piano $xO y$ è minore). Pertanto devi calcolare il volume della porzione di cilindro contenuto nella sfera.
Puoi fare alcune considerazioni geometriche: 1) ti basta prendere il semispazio superiore $z>0$ e moltiplicare il risultato per $2$; 2) in realtà basta considerare solo il primo ottante, causa la simmetria rispetto agli assi, e quindi moltiplicare il risultato ottenuto su questo per $4$ (e di conseguenza, per $8$).
Quindi puoi restringere $E$ alla porzione di spazio per cui $x>0,\ y>0,\ z>0$. Ora, vista la simmetria rotazionale attorno all'asse $z$, ti suggerirei, per rpima cosa, di effettuare un cambiamento di coordinate cilindriche
$$x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta,\qquad z=z$$
con le condizioni
$$\rho^2<4,\qquad \rho^2+z^2<16,\qquad \theta\in[0,\pi/2]$$
l'ultima perché siamo nel primo ottante. Pertanto il tuo integrale, usando il fatto che lo Jacobiano risulta $J=\rho$ diventa
$$V=\iiint_E dx\ dy\ dz=8\int_0^{\pi/2}\left(\iint_{E'} \rho\ d\rho\ dz\right)$$
dove $E'$ ora è un dominio nel piano $\rho O z$ preso nel primo quadrante. Dalle condizioni rimaste, se fai un disegno, avrai una strisci verticale $0<\rho<2$ e uno spicchio di circonferenza $\rho^2+z^2<16$ centrato nell'origine e di raggio $4$. Ne segue che $E'$ coincide con la striscia presa all'interno del cerchio. Per integrare ti basta osservare che le condizioni per avere tale dominio (che risulta normale) sono
$$0\le\rho\le 2,\qquad 0\le z\le\sqrt{16-\rho^2}$$
e pertanto avrai
$$V=4\pi\int_0^2 \rho\left(\int_0^{\sqrt{16-z^2}} dz\right)\ d\rho$$
Ti lascio i calcoli (e spero sia chiaro)
Puoi fare alcune considerazioni geometriche: 1) ti basta prendere il semispazio superiore $z>0$ e moltiplicare il risultato per $2$; 2) in realtà basta considerare solo il primo ottante, causa la simmetria rispetto agli assi, e quindi moltiplicare il risultato ottenuto su questo per $4$ (e di conseguenza, per $8$).
Quindi puoi restringere $E$ alla porzione di spazio per cui $x>0,\ y>0,\ z>0$. Ora, vista la simmetria rotazionale attorno all'asse $z$, ti suggerirei, per rpima cosa, di effettuare un cambiamento di coordinate cilindriche
$$x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta,\qquad z=z$$
con le condizioni
$$\rho^2<4,\qquad \rho^2+z^2<16,\qquad \theta\in[0,\pi/2]$$
l'ultima perché siamo nel primo ottante. Pertanto il tuo integrale, usando il fatto che lo Jacobiano risulta $J=\rho$ diventa
$$V=\iiint_E dx\ dy\ dz=8\int_0^{\pi/2}\left(\iint_{E'} \rho\ d\rho\ dz\right)$$
dove $E'$ ora è un dominio nel piano $\rho O z$ preso nel primo quadrante. Dalle condizioni rimaste, se fai un disegno, avrai una strisci verticale $0<\rho<2$ e uno spicchio di circonferenza $\rho^2+z^2<16$ centrato nell'origine e di raggio $4$. Ne segue che $E'$ coincide con la striscia presa all'interno del cerchio. Per integrare ti basta osservare che le condizioni per avere tale dominio (che risulta normale) sono
$$0\le\rho\le 2,\qquad 0\le z\le\sqrt{16-\rho^2}$$
e pertanto avrai
$$V=4\pi\int_0^2 \rho\left(\int_0^{\sqrt{16-z^2}} dz\right)\ d\rho$$
Ti lascio i calcoli (e spero sia chiaro)
Chiarissimo, grazie mille!
Prego, fanno 300 euro che puoi tranquillamente bonificarmi entro il 15 agosto. 
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