Volume di un solido con un dominio piuttosto strano
La richiesta è semplice, calcolare il volume del solido così definito:
\[\left \{ x^2+y^2-2\leq z\leq 4-x-y \right \}\]
eppure trovo che impostare il problema sia abbastanza complicato.
Ho provato a trasformare subito in coordinate polari ma non conosco ne l'una ne l'altra delle due equazioni, se avessi un cilindro o una sfera sarebbe facile ma purtroppo queste sembrano diverse...
Ho provato allora a metterle a sistema e trovare i valori di z, e quindi l'intersezione, ma niente da fare...
Ho anche provato ad eguagliare le due funzioni nella speranza di trovare i valori all'interno dei quali variano x e y ma non sono riuscito neanche in questo modo...
Non so proprio come iniziare a svolgere il problema, mi sapreste dare una mano?
Grazie infinite a chiunque mi aiuterà
\[\left \{ x^2+y^2-2\leq z\leq 4-x-y \right \}\]
eppure trovo che impostare il problema sia abbastanza complicato.
Ho provato a trasformare subito in coordinate polari ma non conosco ne l'una ne l'altra delle due equazioni, se avessi un cilindro o una sfera sarebbe facile ma purtroppo queste sembrano diverse...
Ho provato allora a metterle a sistema e trovare i valori di z, e quindi l'intersezione, ma niente da fare...
Ho anche provato ad eguagliare le due funzioni nella speranza di trovare i valori all'interno dei quali variano x e y ma non sono riuscito neanche in questo modo...
Non so proprio come iniziare a svolgere il problema, mi sapreste dare una mano?
Grazie infinite a chiunque mi aiuterà
Risposte
la disequazione $x^2+y^2-2 leq 4-x-y$ è verificata da tutti i punti interni alla circonferenza $x^2+y^2+x+y-6 leq 0$
detto $D$ questo insieme il volume cercato è dato da $ int_(D) (4-x-y-x^2-y^2+2)dx dy $
che puoi risolvere con le coordinate polari
detto $D$ questo insieme il volume cercato è dato da $ int_(D) (4-x-y-x^2-y^2+2)dx dy $
che puoi risolvere con le coordinate polari
Grazie infinite stormy!
Dunque, se ho capito bene ora passo a coordinate polari e dato che la circonferenza ha centro in C:( -1/2 , -1/2 ) e ha raggio pari a \[r = \sqrt{\frac{13}{2}}\] allora devo sostituire, per x e y, i seguenti valori:
\[x = -\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{13}{2}}cos\theta\]
\[y = -\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{13}{2}}sin\theta\]
con
\[\theta\:\: \epsilon\:\: [\:0,2\pi \:]\]
e
\[0\leq \rho \leq \sqrt{\frac{13}{2}}\]
Ho detto tutto giusto?
Dunque, se ho capito bene ora passo a coordinate polari e dato che la circonferenza ha centro in C:( -1/2 , -1/2 ) e ha raggio pari a \[r = \sqrt{\frac{13}{2}}\] allora devo sostituire, per x e y, i seguenti valori:
\[x = -\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{13}{2}}cos\theta\]
\[y = -\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{13}{2}}sin\theta\]
con
\[\theta\:\: \epsilon\:\: [\:0,2\pi \:]\]
e
\[0\leq \rho \leq \sqrt{\frac{13}{2}}\]
Ho detto tutto giusto?
attenzione
$x=-1/2+rhocos theta$
$y=-1/2+rhosen theta$
per il resto direi che è tutto giusto
$x=-1/2+rhocos theta$
$y=-1/2+rhosen theta$
per il resto direi che è tutto giusto
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