Volume di un solido
Ciao a tutti, ho una domanda di curiosità:
Consideriamo il solido $V$ dato dall'intersezione tra la sfera unitaria $\{x^2+y^2+z^2 \le 1 \}$ e il cilindro $\{ x^2+y^2 \le 1/4 \}$; l'obiettivo è calcolare il volume di $V$.
Io l'ho fatto in 2 modi:
1) In coordinate cilindriche
2) $V$ è l'unione di un cilindro di altezza $\sqrt(3)$ e raggio di base $1/2$ più due calotte sferiche.
Quindi il volume totale è dato dal volume del cilindro più quello delle due calotte, che si ottiene integrando
per strati.
In entrambi i casi ho ottenuto lo stesso risultato, quindi no problem.
La mia domanda è: è possibile calcolare il volume integrando in coordinate sferiche? Ci ho provato ma è come se saltassi qualche pezzo, poiché mi tornano numeri differenti.
Dato che $V=\{ x^2+y^2+z^2 \le 1, \ x^2+y^2 \le 1/4 \}$, passando in sferiche con:
$x=\rho \cos \theta \sin \phi, \ y=\rho \sin \theta \sin \phi, \ z=\rho \cos \phi $
dove $\theta \in [0, 2\pi]$ e $\phi \in [0, \pi]$ ottengo
$V=\{\rho \le 1, \ \rho^2 \sin^2 \phi \le 1/4 \} $ .
Dalla seconda condizione ho che
$(\rho \sin \phi - 1/2)(\rho \sin \phi +1/2)\le 0$, ovvero $-1/2 \le \rho \sin \phi \le 1/2$ e qui vorrei dividere per $\sin \phi$, ma ho dei problemi perché potrebbe annullarsi... come proseguo?
Consideriamo il solido $V$ dato dall'intersezione tra la sfera unitaria $\{x^2+y^2+z^2 \le 1 \}$ e il cilindro $\{ x^2+y^2 \le 1/4 \}$; l'obiettivo è calcolare il volume di $V$.
Io l'ho fatto in 2 modi:
1) In coordinate cilindriche
2) $V$ è l'unione di un cilindro di altezza $\sqrt(3)$ e raggio di base $1/2$ più due calotte sferiche.
Quindi il volume totale è dato dal volume del cilindro più quello delle due calotte, che si ottiene integrando
per strati.
In entrambi i casi ho ottenuto lo stesso risultato, quindi no problem.
La mia domanda è: è possibile calcolare il volume integrando in coordinate sferiche? Ci ho provato ma è come se saltassi qualche pezzo, poiché mi tornano numeri differenti.
Dato che $V=\{ x^2+y^2+z^2 \le 1, \ x^2+y^2 \le 1/4 \}$, passando in sferiche con:
$x=\rho \cos \theta \sin \phi, \ y=\rho \sin \theta \sin \phi, \ z=\rho \cos \phi $
dove $\theta \in [0, 2\pi]$ e $\phi \in [0, \pi]$ ottengo
$V=\{\rho \le 1, \ \rho^2 \sin^2 \phi \le 1/4 \} $ .
Dalla seconda condizione ho che
$(\rho \sin \phi - 1/2)(\rho \sin \phi +1/2)\le 0$, ovvero $-1/2 \le \rho \sin \phi \le 1/2$ e qui vorrei dividere per $\sin \phi$, ma ho dei problemi perché potrebbe annullarsi... come proseguo?
Risposte
La condizione su $rho*sin(phi) le 1/2$ (e specularmente quella per -1/2) è valida solo per $sin(phi) ge 1/2$ ovvero per $phi ge 30°$ ovvero per angoli tali da rimanere all'interno del cilindro. Per angoli inferiori bisognerà rimanere all'interno della sfera e quindi varrà la limitazione $rho le 1$
"Lebesgue":
e qui vorrei dividere per $\sin \phi$, ma ho dei problemi perché potrebbe annullarsi... come proseguo?
Il seno si annulla solo per $\phi=0$ o $\phi=\pi$, ma gli insiemi corrispondenti a tali valori hanno misura tridimensionale nulla secondo te (Lebesgue); quindi, rimane tutto misurabile/integrabile con valore dell'integrale inalterato. Perciò, puoi dividere impunemente per $\sin \phi$ (perché non negativo) e considerare $\rho \le \min\{1,1/(2\sin \phi)\}$. Questo minimo è, in pratica, dire in maniera analitica ciò che ti ha già detto ingres.
Grazie mille ad entrambi! Effettivamente io dividevo per $\sin \phi$ (per il motivo detto da Mephlip), ma poi andavo a considerare solo gli angoli all'interno del cilindro, ovvero $5\pi /6 \le \phi \le \pi/6$, scordandomi degli altri.
In sostanza non consideravo la condizione $\rho \le \min\{1, \ 1/(2\sin \phi) \}$ ma solo $\rho \le 1/(2\sin \phi)$
In sostanza non consideravo la condizione $\rho \le \min\{1, \ 1/(2\sin \phi) \}$ ma solo $\rho \le 1/(2\sin \phi)$
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