Volume di un solido

[luca19952]

Buonasera a tutti, ho un problema con questo esercizio: Calcolare il volume di $ V = {(x, y,z) in R^3 | 0<=x^2- 2x + y^2<= z <= 3, y >= 0} $.
Ho provato impostando l'integrale triplo così: $ int_Dint_(x^2-2x+y^2)^3dxdydz $ con $ D={(x,y)in R^2| 1-sqrt3<=x<=0, -sqrt(2x-x^2)<=y<=sqrt(2x-x^2)} $ ma non mi viene.
Grazie a chi mi aiuterà

[luca19952]

Grazie TeM, ma non ho capito perchè l'insieme di integrazione è quello che hai scritto tu, non dovrebbe essere questo?, ovvero non sarebbe solo quello dove -1<=x<=0, quello che tu hai chiamato Ω1?
Grazie ancora

[luca19952]

chiarissimo! grazie mille

[orsoulx]

Mi pare un'impostazione inutilmente complicata: tralasciando, per ora, la limitazione per $ y $, che visto la simmetria rispetto a questa variabile si riduce a considerare solo la metà di un solido più semplice, basta osservare che $ 0 \le x^2 -2x+y^2 \le z $ cioè $ 1 \le (x-1)^2+y^2 \le 1+z $ non è altro che, per ciascun valore ammissibile di $ z $, una corona circolare, centrata in $ (1, 0,z) $ di raggio interno $ 1 $ e raggio esterno $ \sqrt(1+z) $, la cui superficie ha area $ \pi z $.
Il volume del solido sarà allora, dividendo per $ 2 $ a causa della limitazione $ y ge 0 $: \( V= \frac{\pi}{2} \int_0^3 zdz= \frac 9 4 \pi \).
Ciao
B.