Volume di un solido
ciao a tutti. dovrei calcolare il volume di questo solido, definito da $ z = x^2 + y^2 $ e $ z + 2y = 3 $ . il primo è un paraboloide e il secondo un piano, fino a qua ci siamo, l'ho disegnato. stavo ragionando se era possibile sfruttare le sezioni del paraboloide ma l'equazione del piano mi complica troppo la faccenda. anche rispetto alle altre sezioni non risolvo nulla. strade scartate. qualcuno ha qualche spunto da cui partire?
Risposte
Se disegni il tutto proiettandolo sula piano $yOz$ otterrai l'intersezione di una parabola e di una retta, la quale ti permette di determinare una relazione tra la coordinata $y$ e la coordinata $z$. L'uso delle coordinate cilindriche potrebbe essere un'ottima soluzione.
ci avevo pensato, era il mio punto di partenza...non mi sono espresso bene ma intendevo dire che il mio problema è sull'angolo: non so come esprimere gli estremi...(cioè, ci sto pensando a immaginarmelo in 3 dimensioni ma l'angolo non è costante giusto?)
no mi spiace..proprio non ci arrivo...non capisco come variano gli estremi in $ rho, vartheta $ . intendo dire, se io dal piano yz faccio ruotare la retta (per semplicità mi riferisco alle sole y positive) ottengo una calotta sotto e un cono sopra, non un paraboloide sezionato... viceversa per le y negative avrei un paraboloide scavato al suo interno da un cono. non capisco proprio...
Ma guarda che la retta mica ruota: quella è solo la proiezione di un piano, per cui quello che hai è sempre e solo una retta che trasla (semmai) in un fascio parallelo al piano $yOz$. In soldoni, tu hai una coppa (il paraboloide) coperto con un tappo (un foglio, che rappresenta il piano) che però non è posto in maniera ortogonale agli assi, bensì orientato come la direzione della retta $z=-2y+3$ (se guardi lo spazio cartesiano in modo che il piano $yOz$ sia disegnato sul foglio e l'asse $x$ esca fuori venendo verso di te).
si si qua ci sono...ma non so proprio come impostare l integrale. se non ho inteso male, più "salgo" in z più l angolo si chiude (1° problema che ho!) . poi anche il raggio mi crea problemi: quello esterno varia con la parabola, ok, ma quello interno non lo vedo come un raggio! o comunque non saprei come esprimerlo! so che rompo le scatole ma non riesco proprio a vedere come fare. per questo mi chiedevo se sto seguendo la strada giusta con le coordinate cilindriche... 
Effettivamente facendo un po' di conti viene un ca_ino! Non che non si possa fare, ma obbiettivamente è da suicidio. Tuttavia anche lasciarlo in coordinate cartesiane mi pare porti a forti dolori di panza. Mmmmm, ci devo pensare un attimo, forse c'è una cosina semplice semplice che mi sfugge al momento.
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