Volume di un paraboloide
Salve a tutti, il testo dell'esercizio è questo:
Calcolare il volume |W| della regione definita da W = {x ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, z ≤ 1, x ≥ z}. [R. π/32]
Vorrei cominciare a capire di che volume stiamo parlando.
Ho ipotizzato che stiamo parlando di un paraboloide con altezza massima = a 1, sarebbe il piano che delimita il parabolodide?. Ma non riesco a capire di preciso di quale grafico stiamo parlando.
Quale approccio devo usare? le coordinate cilindriche?
Calcolare il volume |W| della regione definita da W = {x ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, z ≤ 1, x ≥ z}. [R. π/32]
Vorrei cominciare a capire di che volume stiamo parlando.
Ho ipotizzato che stiamo parlando di un paraboloide con altezza massima = a 1, sarebbe il piano che delimita il parabolodide?. Ma non riesco a capire di preciso di quale grafico stiamo parlando.
Quale approccio devo usare? le coordinate cilindriche?
Risposte
Sì, stai considerando quel paraboloide. Però di questo ne consideri solo una porzione, cioè quella sotto il piano $z=x$. Vista la simmetria del problema, usare le coordinate cilindriche dovrebbe essere una buona strategia.
"Antimius":
Sì, stai considerando quel paraboloide. Però di questo ne consideri solo una porzione, cioè quella sotto il piano $z=x$. Vista la simmetria del problema, usare le coordinate cilindriche dovrebbe essere una buona strategia.
Ciao Antimus, ti ringrazio per la risposta. Effettivamente sembra anche a me una buona strategia ma non riesco ad arrivare al risultato.
Correggimi se sbaglio:
L'integrale va fatto rispetto ad 1 perche parliamo di volume.
Gli estremi di integrazione per TETA è da 0 a 2PI?
Gli estremi di integrazione di RO è da 0 a 1? (L'ho ipotizzato visto la funzione)
Per quanto riguarda gli estremi di integrazione di z direi x^2+y^2??
intRO (0,1) intTETA (0,2PI) intZETA(x^2+y^2,x) RO dRO dTETA dZETA
Devi trasformare gli estremi di integrazione di $z$, che nelle nuove coordinate diventano $\rho^2$ e $\rho \cos \theta$. Osserva che però dev'essere $\rho^2 \leq z \leq \rho \cos \theta$ e questo è possibile se $\rho \leq \cos \theta$. Perciò gli estremi di integrazione di $\rho$ sono $0$ e $\cos \theta$. Inoltre, poiché $\rho$ è positivo, dall'ultima disuguaglianza devi avere $\cos \theta \geq 0$ e perciò gli estremi di integrazione per $\theta$ sono $-\pi/2$ e $\pi/2$.
In definitiva, l'integrale diventa:
$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{\cos \theta} \int_{ \rho^2} ^{\rho \cos \theta} \rho d\theta d\rho dz$$
In definitiva, l'integrale diventa:
$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{\cos \theta} \int_{ \rho^2} ^{\rho \cos \theta} \rho d\theta d\rho dz$$
"Antimius":
Devi trasformare gli estremi di integrazione di $z$, che nelle nuove coordinate diventano $\rho^2$ e $\rho \cos \theta$. Osserva che però dev'essere $\rho^2 \leq z \leq \rho \cos \theta$ e questo è possibile se $\rho \leq \cos \theta$. Perciò gli estremi di integrazione di $\rho$ sono $0$ e $\cos \theta$. Inoltre, poiché $\rho$ è positivo, dall'ultima disuguaglianza devi avere $\cos \theta \geq 0$ e perciò gli estremi di integrazione per $\theta$ sono $-\pi/2$ e $\pi/2$.
In definitiva, l'integrale diventa:
$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{\cos \theta} \int_{ \rho^2} ^{\rho \cos \theta} \rho d\theta d\rho dz$$
Non ti ringrazio solamente per la soluzione. Ti ringrazio soprattutto perchè sei stato molto chiaro nella spiegazione.
Senza importunarti oltre ho anche questo esercizio:
V = {x ∈ R3 : z ≥ 5x2 + 2y2 − 4xy, z ≤ x+ 2y+ 1}
Siamo in presenza anche qui di un paraboloide ellittico? Il procedimento potrebbe avere punti in comune con il primo?
Vorrei capire quel -4xy come influisce geometricamente e matematicamente
Grazie ancora per l'aiuto
Sì, è un paraboloide ellittico. La presenza del termine in $xy$ ti dice che esso è ruotato rispetto all'asse z. In sostanza, se vai a guardare le curve di livello, non sono ellissi con assi paralleli agli assi $x$ e $y$ ma sono ruotati di un certo angolo.
Potresti riportare il paraboloide in forma canonica, trovando autovalori della forma quadratica e, trovando gli autovettori, potresti specificare la trasformazione che lo riporta in forma canonica e, in questo modo, vedi anche cosa diventa il piano $z=x+2y+1$ e lavori nel nuovo insieme (il volume ovviamente non cambia).
Forse però diventa un po' lungo come procedimento e probabilmente non è necessario. Prova con le coordinate cilindriche ellittiche:
$$\begin{cases}
x= \frac{\rho}{\sqrt{5}} \cos \theta \\
y= \frac{\rho}{\sqrt{2}} \sin \theta
\end{cases}$$
Potresti riportare il paraboloide in forma canonica, trovando autovalori della forma quadratica e, trovando gli autovettori, potresti specificare la trasformazione che lo riporta in forma canonica e, in questo modo, vedi anche cosa diventa il piano $z=x+2y+1$ e lavori nel nuovo insieme (il volume ovviamente non cambia).
Forse però diventa un po' lungo come procedimento e probabilmente non è necessario. Prova con le coordinate cilindriche ellittiche:
$$\begin{cases}
x= \frac{\rho}{\sqrt{5}} \cos \theta \\
y= \frac{\rho}{\sqrt{2}} \sin \theta
\end{cases}$$
"Antimius":
Sì, è un paraboloide ellittico. La presenza del termine in $ xy $ ti dice che esso è ruotato rispetto all'asse z. In sostanza, se vai a guardare le curve di livello, non sono ellissi con assi paralleli agli assi $ x $ e $ y $ ma sono ruotati di un certo angolo.
Potresti riportare il paraboloide in forma canonica, trovando autovalori della forma quadratica e, trovando gli autovettori, potresti specificare la trasformazione che lo riporta in forma canonica e, in questo modo, vedi anche cosa diventa il piano $ z=x+2y+1 $ e lavori nel nuovo insieme (il volume ovviamente non cambia).
Forse però diventa un po' lungo come procedimento e probabilmente non è necessario. Prova con le coordinate cilindriche ellittiche:
\[ \begin{cases} x= \frac{\rho}{\sqrt{5}} \cos \theta \\ y= \frac{\rho}{\sqrt{2}} \sin \theta \end{cases} \]
Ciao Antimius, anche io sono interessato a questo tipo di esercizio.... Ma come posso trovare le condizioni di integrazione di $ rho $ e $theta$ ? Ho provato a concatenare le condizioni su z ma non ho ricavato nulla.... Come posso fare? Forse ho sbagliato qualcosa io...
In effetti vengono conti un po' bruttini. Forse con qualche accorgimento si può seguire comunque quella strada, ma a questo punto conviene ruotare il paraboloide rispetto all'asse z per ottenerne la forma canonica.
Senza andarsi a impelagare con autovettori, basta considerare la trasformazione:
$$\begin{cases}
x \mapsto x \cos \theta - y \sin \theta \\
y \mapsto x \sin \theta + y \cos \theta \\
z \mapsto z
\end{cases}$$
Sostituendo nell'equazione e facendo un po' di conti (ammettendo che non ho fatto errori di calcolo), si vede che il termine in $xy$ si annulla per:
$$2 \sin^2 \theta - 3 \sin \theta \cos \theta - 2 \cos^2 \theta =0$$
che è equivalente a:
$$ 2 \tan^2 \theta - 3 \tan \theta - 2 =0$$
le cui soluzioni (tra $-pi/2$ e $pi/2$) sono $\theta_1 = \arctan 2$ e $\theta_2 = arctan(-1/2)$. Il fatto che vengano due soluzione c'era da aspettarselo: le curve di livello del paraboloide sono ellissi ruotate, quindi per ripotarlo in forma canonica basta ruotare queste ellissi in modo da riportarne uno dei due semiassi parallelo all'asse $x$ (e di conseguenza l'altro sarà parallelo all'asse $y$).
Scegliamo, ad esempio, $\theta = \arctan 2$. Allora, abbiamo $\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ e $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
In questo modo abbiamo determinato i coefficienti della trasformazione e ora basta applicarla a quadrica e piano per trovare le nuove equazioni.
Se ho fatto bene i conti, vengono rispettivamente $z = x^2+6y^2$ e $z = \sqrt{5}x + 1$.
Detto ciò, i calcoli si semplificano un po' ma non ho provato a calcolare l'integrale per vedere se è una cosa fattibile
Per ora, non ho altre idee però.
Senza andarsi a impelagare con autovettori, basta considerare la trasformazione:
$$\begin{cases}
x \mapsto x \cos \theta - y \sin \theta \\
y \mapsto x \sin \theta + y \cos \theta \\
z \mapsto z
\end{cases}$$
Sostituendo nell'equazione e facendo un po' di conti (ammettendo che non ho fatto errori di calcolo), si vede che il termine in $xy$ si annulla per:
$$2 \sin^2 \theta - 3 \sin \theta \cos \theta - 2 \cos^2 \theta =0$$
che è equivalente a:
$$ 2 \tan^2 \theta - 3 \tan \theta - 2 =0$$
le cui soluzioni (tra $-pi/2$ e $pi/2$) sono $\theta_1 = \arctan 2$ e $\theta_2 = arctan(-1/2)$. Il fatto che vengano due soluzione c'era da aspettarselo: le curve di livello del paraboloide sono ellissi ruotate, quindi per ripotarlo in forma canonica basta ruotare queste ellissi in modo da riportarne uno dei due semiassi parallelo all'asse $x$ (e di conseguenza l'altro sarà parallelo all'asse $y$).
Scegliamo, ad esempio, $\theta = \arctan 2$. Allora, abbiamo $\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ e $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
In questo modo abbiamo determinato i coefficienti della trasformazione e ora basta applicarla a quadrica e piano per trovare le nuove equazioni.
Se ho fatto bene i conti, vengono rispettivamente $z = x^2+6y^2$ e $z = \sqrt{5}x + 1$.
Detto ciò, i calcoli si semplificano un po' ma non ho provato a calcolare l'integrale per vedere se è una cosa fattibile
Per ora, non ho altre idee però.
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