Volume di un insieme non simmetrico
Buongiorno a tutti, ho un esercizio problematico.
Si tratta di calcolare il volume di $ E={(x,y,z) : x^2+y^2<=z<=x-y } $
la prima disequazione ci dice che dobbiamo stare dentro un paraboloide, la seconda ci dice che questo paraboloide è "tappato" da un piano che l'attraversa di sbieco.
Come si nota cioè non c'è simmetria cilindrica per tutto il dominio di z e quindi non posso fare cambi di coordinate.
Ho provato allora a calcolare l'intersezione tra il paraboloide e il piano: effettivamente ottengo una condizione sul dominio della x. (quello sulla z me lo da l'esercizio) Però la y da dove a dove la valuto?
Grazie
Si tratta di calcolare il volume di $ E={(x,y,z) : x^2+y^2<=z<=x-y } $
la prima disequazione ci dice che dobbiamo stare dentro un paraboloide, la seconda ci dice che questo paraboloide è "tappato" da un piano che l'attraversa di sbieco.
Come si nota cioè non c'è simmetria cilindrica per tutto il dominio di z e quindi non posso fare cambi di coordinate.
Ho provato allora a calcolare l'intersezione tra il paraboloide e il piano: effettivamente ottengo una condizione sul dominio della x. (quello sulla z me lo da l'esercizio) Però la y da dove a dove la valuto?
Grazie
Risposte
imponendo $x^2+y^2 leq x-y$ ottieni che la proiezione dell'insieme sul piano $z=0$ è limitata dalla circonferenza di equazione $x^2+y^2-x+y=0$
che giustamente HA simmetria sul piano, e posso passare in coordinate polari nel piano? giusto?
no scusami, non sono ancora convinto.
bene, sul piano z=0 è limitata da quella circonferenza, ma salendo oltre un certo z smette di essere una circonferenza. quindi bene z=0, ma poi?
bene, sul piano z=0 è limitata da quella circonferenza, ma salendo oltre un certo z smette di essere una circonferenza. quindi bene z=0, ma poi?
che vuol dire salendo ?
stiamo parlando della proiezione sul piano $z=0$
tutti i punti dell'insieme si proiettano nel cerchio $x^2+y^2-x+y leq 0$
per capirci ,devi calcolare $ int int_(D) dx dyint_(x^2+y^2)^(x-y) dz $
dove $D$ è il cerchio riportato sopra
stiamo parlando della proiezione sul piano $z=0$
tutti i punti dell'insieme si proiettano nel cerchio $x^2+y^2-x+y leq 0$
per capirci ,devi calcolare $ int int_(D) dx dyint_(x^2+y^2)^(x-y) dz $
dove $D$ è il cerchio riportato sopra
(nota: non sto contestando che sia giusto, solo non ho capito perchè lo sia.)
per "salendo" intendo dire che tu stai proiettando un cerchio lungo l'asse z, con z che sale. Cioè per ogni valore dell'asse z nel suo dominio tu disegni quel cerchio che a seconda del valore di z sarà un po' più largo. Idealmente moltiplicando l'area di questo cerchio (di area crescente con z) per tutti gli z (Superficie x altezza), hai il volume. Il problema è che arrivato ad un certo valore di z quello che ottieni non è più un cerchio, ma via via che sali un cerchio a cui mancano dei pezzi.
mentre scrivevo mi è venuto in mente la soluzione "concettuale".
In pratica noi stiamo dicendo che il volume di un paraboloide "tagliato di sbieco" è uguale al volume di un cilindro di base (x^2+y^2-x+y) e altezza $int_(x^2+y^2)^(x-y) dz$?
forse allora mi sono perso come si giustifica questo fatto?
per "salendo" intendo dire che tu stai proiettando un cerchio lungo l'asse z, con z che sale. Cioè per ogni valore dell'asse z nel suo dominio tu disegni quel cerchio che a seconda del valore di z sarà un po' più largo. Idealmente moltiplicando l'area di questo cerchio (di area crescente con z) per tutti gli z (Superficie x altezza), hai il volume. Il problema è che arrivato ad un certo valore di z quello che ottieni non è più un cerchio, ma via via che sali un cerchio a cui mancano dei pezzi.
mentre scrivevo mi è venuto in mente la soluzione "concettuale".
In pratica noi stiamo dicendo che il volume di un paraboloide "tagliato di sbieco" è uguale al volume di un cilindro di base (x^2+y^2-x+y) e altezza $int_(x^2+y^2)^(x-y) dz$?
forse allora mi sono perso come si giustifica questo fatto?
non sto proiettando nessun cerchio,sto semplicemente dicendo che per essere $x^2+y^2leq x-y$ deve aversi $x^2+y^2+x-y leq 0$ e quindi tutti i punti dell'insieme devono avere $x$ ed $y$ che stiano all'interno del cerchio
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